2. Chiziqli interpolyatsiya Lagranjinterpolyatsionko‘phadi

Veyershtrass teoremasi: Har qanday uzluksiz va differensiallanuvchi funksiyani darajali qator bilan istalgancha aniqlikda almashtirish mumkin.
Ikkinchi muammoni hal qilish uchun esa, koʻphad jadvalda berilgan (n+1) ta nuqtalardan oʻtishini talab qilamiz. Umumiy holda
(3)
boʻlsa, u holda

shartlar bajarilishini talab qilamiz.
(4)
Ushbu sistema – (n+1) ta nomaʼlumli (n+1) ta chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi boʻlib, uning determinanti:
ekanligi isbotlangan. Demak (4) Sistema yechimi mavjud va yagona. Ushbu sistemani yechib, – nomaʼlumlarni topib, ularni (3) formulaga qoʻysak, izlanayotgan approksimatsiyalovchi koʻphadni topgan boʻlamiz.
Taʼrif 3.Berilgan jadval asosida (3) koʻphadni topish masalasiga interpolyatsiya masalasi deyiladi, koʻphadning oʻziga interpolyatsion koʻphaddeyiladi.
Taʼrif 4. Interpolyatsion koʻphad yordamida interpolyatsiya tugunlaridan farqli boʻlgan qiymat uchun f(x) funksiyaning taqribiy qiymatini hisoblash masalasiga interpolyatsiya masalasideyiladi.
Taʼrif 5.Interpolyatsion koʻphad yordamida interpolyatsiya tugunlaridan farqli boʻlgan qiymat uchun f(x) funksiyaning taqribiy qiymatini hisoblash masalasiga ekstropolyatsiya masalasi deyiladi.
M isol.



Agar tajriba kuzatuvlari soni yetarli boʻlsa, interpolyatsion koʻphadni bogʻlanishning matematik modeli sifatida qabul qilish mumkin.

boʻladi deb aytish mumkin.
Muammo shundaki kuzatuvlar soni ortib borgan sarinazariy jihatdan xatolik kamayib boradi, lekin (4) sistema tartibi ham ortib, uni yechish ham qiyinlashadi. Masalan n=10 boʻlganda 11 ta nomaʼlumli 11 ta tenglamalar sistemasini yechishga toʻgʻri keladi.

3. Lagranjinterpolyatsionko‘phadi

Interpolyatsion koʻphad tuzishning original yoʻlini Lagranj taklif qildi. Lagranj har bir interpolyalash tuguni uchun alohida koʻphad tuzishni taklif qildi.

– larning har biri n-darajali koʻphad, u holda (5) ham n-darajali koʻphad boʻladi. – larni har birini

shartlarni bajaradigan qilib tanlanadi.
- ildizlari – boʻlgan n-darajali koʻphad boʻladi. Tushunarliki koʻphad

Koʻrinishda bolib, bu yerda A-qandaydir konstanta. Shartga koʻra boʻladi agar i=j boʻlganda, bundan A-konstantani aniqlaymiz:



u holda tengmas oraliqlar uchun Lagranj interpolyatsion koʻphadi:




Xususiy hollarda ushbu formula quyidagi koʻrinishlarni oladi:
n=1boʻlganda ikkita nuqtaga ega boʻlamiz , u holda

koʻrinishni oladi.
n=2 boʻlganda uchta nuqtaga ega boʻlamiz , u holda

Misol. funksiya uchun Lagranj interpolyatsion koʻphadi tuzilsin:





va funksiyalar grafiklari turlicha boʻlsada, lekin aynan [0;0.5] oraliqda bu funksiyalar bir-biriga juda ham yaqinlashadi.

Interpolyatsion koʻphadning qoldiq hadi yoki xatoligi

Boʻlib, shartga koʻra tugunlarda boʻladi. Shuning uchun

nuqta [a;b] oraliqdan olingan nomaʼlum nuqta boʻlgani uchun, ushbu formula xatolikni faqat baholash imkonini beradi. Roll teoremasiga koʻra hosilalar chegaralangan boʻlsa, n ortgan sari xatolik nolga intilib boradi. [a;b] oraliqdagijoriy nuqtada interpolyatsiya xatoligini baholaymiz:

Bunda
Butun [a;b] oraliq boʻyicha xatolik bahosi

Yuqorida koʻrib chiqilgan misol uchun xatolik baholarini olamiz:


u holda nuqtadagi xatolik:

ni tashkil qilsa, butun [0;0.5] oraliq boʻyicha maksimal xatolik:

ni tashkil qiladi.