2. Funksiyalarni interpolyatsiyalash

2. Funksiyalarni interpolyatsiyalash

f(х) funksiya [а, b] oraliqda aniqlangan boʻlsin, ushbu oraliqda f(х) va (х) funksiyalarning yaqinligi ta’minlangan boʻlsin. Berilgan kesmada

a  x₀ < x₁ < x₂ < … < x_n  b

shart boʻyicha nuqtalar toʻplami tanlanadiki, ularni tugunlar deb ataladi. Tugunlarning soni (6.1) tenglikdagi parametrlar soniga teng. Bu tugunlarda f(х) funksiyaning qiymatlari ma’lum, ya’ni y_i = f(x_i),

Interpolyatsiya masalasi (6.1) ga mos koʻphadlarni tanlashga olib kelinadi:

, (6.2)

Bunda с_k koeffitsiyentlar haqiqiy sonlardan iborat boʻlib, quyidagi qoida asosida topiladi:

, (6.3)

Bunday koʻphadga interpolyatsion koʻphad deyiladi.

(6.3) shart qoʻllanadigan (6.2) amaliyotga global interpolyatsiya deyiladi. Agar (6.2) koʻphad f(х) funksiyaning aniqlanish sohasi boʻlgan [а, b] kesmaning faqat alohida qismlari uchun, ya’ni m < n boʻlgan m ta interpolyatsion tugun uchun qurilsa, u holda interpolyatsiyani lokal interpolyatsiya deyiladi.

Tanlangan nuqtalar toʻplamidagi tugunlar turlicha boʻlganligi uchun (6.3) sistemaning determinanti quyidagi koʻrinishda boʻladi:

|G|  0, (6.4)

(6.3) sistema yagona yechimga ega, ya’ni (6.2) koʻphadning koeffitsiyentlari bir qiymatli aniqlanadi.

Koʻrish mumkinki, (6.3) shart f(х) va F(х) funksiyalarning yaqinligini ta’minlaydi, ya’ni interpolyatsiya tugunlarida f(х) va F(х) funksiyalarning qiymatlari ustma-ust tushadi.

Agar (6.2) va (6.3) shartlar funksiya qiymatlarini x<x₀ va x>x_n boʻlgan hol uchun hisoblashda qoʻllansa, bunday yaqinlashishga ekstropolyatsiya deyiladi.