2. Funksiyalarni interpolyatsiyalash

b). Teng uzoqlashgan interpolyatsion tugunlar sistemasi uchun Lagranj formulasi. Interpolyatsion tugunlar orasidagi masofa h = x_i+1 – x_i = const oʻzgarmas boʻlsin. U holda ixtiyoriy tugunni quyidagicha yozish mumkin:

x_i = x₀+ih, .

Yangi oʻzgaruvchi kiritamiz: . U holda

x – x_i = x₀ + th – x₀ – ih = (t – i)h . (6. 15)

(6.15) ayirmani (6.11) tenglikka qoʻyib, quyidagini hosil qilamiz:

Soʻngra, x_j – x_i = (x₀ + jh) – (x₀ + ih) = (j – i)h ekanligidan, (6.15) dan foydalanib, Lagranj formulasini hosil qilamiz:

, (6.16)

bunda .

(6.16) ning nazariy xatoligini aniqlash mumkin: .

Misol. Jadval bilan berilgan y=f(x) funksiya qiymatini x=0,4 boʻlgan hol uchun Lagranj interpolyatsion formulasidan foydalanib hisoblang:

i	0	1	2	3
xi	0	0,1	0,3	0,5
yi	–0,5	0	0,2	1

Yechish: (6.14) ga asosan ishchi formulani yozib olamiz:

;

Bizning holda n = 3 gacha, shu sababli:

x = 0,4 boʻlganda y  L(x) = 0,3999.

Berilgan jadval asosida n=1 va x_T = 0,4 boʻlgan hol uchun Lagranj koʻphadini tuzamiz:

Bu esa chiziqli interpolyatsion formula bilan ustma-ust tushadi. Berilgan jadval asosida n=2 va x_T = 0,4 boʻlgan hol uchun Lagranj koʻphadini tuzamiz:

y  L(x) =

Qaralayotgan [x₁, x₃] intervalda

x₀ = 0,1; x₁ = 0,3; x₂ = 0,5;

y₀ = 0; y₁ = 0,2; y₂ = 1

qiymatlarni olamiz. U holda 2–tartibli Lagranj interpolyatsion koʻphadi hosil boʻladi:

Bu tenglik kvadratik interpolyatsiya formulasi bilan bir xil.

Nazorat uchun savollar:

1. 
   Approksimatsiyalash deganda nimani tushunasiz?
   
2. 
   Nuqtaviy approksimatsiyalash va uning turlari.
   
3. 
   Interpolyatsion koʻphad qanday tuzilishga ega?
   
4. 
   Lagranj interpolyatsion koʻphadi va uning nazariy xatoligi qanday aniqlanadi?