2-laboratoriya ishi. Bernulli, Puasson formulalari, Muavr-Laplasning lokal va integral teoremalari. Laboratoriya ishining maqsadi

1-teorema. (Muavr- Laplasning lokal teoremasi). Agar har bir tajribada A hodisaning ro‘y berish ehtimoli p o‘zgarmas bo‘lib, nol va birdan farqli bo‘lsa, u holda n ta tajribada A hodisaning rosa k marta ro‘y berish ehtimoli (n qancha katta bo‘lsa, shuncha aniq)

ga teng. Bu yerda

_.


funksiya juft bo‘lib, funksiyaning x argumentining musbat qiymatlariga mosqiymatlaridan tuzilgan jadvallar ehtimollar nazariyasiga oid ko‘pgina adabiyotlarda keltirilgan. x>4 da =0 deb olinadi.

Agar n ta tajribada hodisaning kamida marta va ko‘pi bilan marta ro‘y berish ehtimoli ni topish talab qilinsa, tajribalar soni katta bo‘lganda, Muavr-Laplasning integral teoremasi qo‘llaniladi.

2- teorema. (Muavr-Laplasning integral teoremasi). Har birida hodisaning ro‘y berish ehtimoli p (0
ga teng bo‘lgan n ta tajribada hodisaning kamida marta va ko‘pi bilan marta ro‘y berish ehtimoli

ga teng. Bu yerda

ko‘rinishda bo‘lib, u Laplas funksiyasi deb ataladi. Bu funksiya toq funksiya bo‘lib, uning qiymatlari jadvallashtirilgan va x>5da F(x)=0,5 deb olinadi.

Eslatma.Muavr-Laplasning taqribiy formulalaridan odatda npq>9 bo‘lgan hollarda foydalangan ma'qul. Agar tajribalar soni katta bo‘lib, har bir tajribada hodisaning ro‘y berish ehtimolini p juda kichik bo‘lsa, u holda quyidagi

Puasson formulasidan foydalaniladi, bu yerda k hodisaning n ta erkli tajribada ro‘y berishlari soni, (hodisaning n ta erkli tajribada ro‘y berishlari o‘rtacha soni).

1. 
   Bitta o‘q uzilganda nishonga tegish ehtimoli 0,8 ga teng. 100 ta o‘q uzilganda rosa 75 ta o‘qning nishonga tegish ehtimolini toping.
   

Yechish. n=100; k=75; p=0,8; q=0,2 .

U holda,

1. 
   ilovadagi jadvaldan .
   

Demak,



2. Agar biror hodisaning ro‘y berish ehtimoli 0,4 ga teng bo‘lsa, bu hodisaning 100 ta tajribada:

a) rosa 50 marta ro‘y berish ehtimolini;

b) kami bilan 30 marta,ko‘pi bilan 45 marta ro‘y berish ehtimolini toping.

Yechish. a) shartga ko‘ra: n=100; p=0,4; q=0,6. Tajribalar soni n katta bo‘lganligi uchun, masalani lokal teoremaga ko‘ra yechamiz:



(x) - funksiyaning qiymatlar jadvalidan (2,04)=0,0498 ekanligini topamiz.

Muavr-Laplasning local formulasidan foydalanib, izlanayotgan ehtimolni topamiz:

b) Laplasning integral teoremasini qo‘llaymiz. n=100; =30; =45; p=0,4va q=0,6 ekanligidan

ning qiymatlar jadvalidan

Topilganlarni formulaga qo‘yib, talab qilingan ehtimollikni topamiz.