2-маъруза. Ҳақиқий сонлар тўплами. Режа

7-таъриф.  Агар  шундай 

M   сони 

)

(

R

M



  топилсаки, 

E   тўпламнинг 

ихтиёрий  x  элементлари учун 

М

х



 

тенгсизлик бажарилса, яъни 

M

x

E

x

R

М











:

,

 

бўлса,  E   тўплам  юқоридан  чегараланган  дейилади,  M   сони  тўпламнинг 

юқори чегараси дейилади. 

8-таъриф.  Агар  шундай  m   сони 

)

(

R

m



  топилсаки, 

E   тўпламнинг 

ихтиёрий  x  элементлари учун  

m

x



 

тенгсизлик бажарилса,  яъни  

m

x

E

x

R

m











:

,

 

бўлса,  E   тўплам  қуйидан  чегараланган  дейилади,  m   сони  тўпламнинг 

қуйи чегараси дейилади. 

Равшанки,  тўплам  юқоридан  чегараланган  бўлса,  унинг  юқори 

чегаралари чексиз кўп, шунингдек қуйидан чегаралан-ган бўлса, унинг қуйи 

чегаралари чексиз кўп бўлади. 

9-таъриф.  Агар 

R

E



  тўплам  ҳам  қуйидан,  ҳам  юқоридан 

чегараланган бўлса,  E  чегараланган тўплам дейилади. 

10-таъриф.  Агар  ихтиёрий 

M   сони 

)

(

R

M



  олинганда  ҳам  шундай 

0

x

элементи 

)

(

0

E

x



 топилсаки,  

М

х



0

 

тенгсизлик бажарилса, яъни 

M

x

E

x

R

М











0

0

:

,

 

бўлса,  E  тўплам юқоридан чегараланмаган дейилади. 

11-таъриф. Агар ихтиёрий  m  сони  

)

(

R

m



 олинганда ҳам шундай 

0

x

 

элементи 

)

(

0

E

x



 топилсаки,  

m

x



0

 

тенгсизлик бажарилса, яъни 

m

x

E

x

R

m











0

0

:

,

 

бўлса,  E  тўплам қуйидан чегараланмаган дейилади. 

Масалан, 

1) 

}

0

,

1

,

2

{...,

1







E

 тўплам юқоридан чегараланган; 

2) 

...}

,

3

,

2

,

1

{

2



E

 тўплам қуйидан чегараланган; 

3) 















...

,

3

1

,

2

1

,

1

3

E

 тўплам чегараланган; 

4) 





0

4







x

R

x

E

 тўплам юқоридан чегараланмаган; 

5) 





0

5







x

R

x

E

 тўплам қуйидан чегараланмаган бўлади. 

Энди  сонлар  тўпламининг  аниқ  юқори  ҳамда  аниқ  қуйи  чегаралари 

тушунчаларини келтирамиз. 

Айтайлик, 

R

E



 тўплам ва 

R

a



 сони берилган бўлсин. 

12-таъриф. Агар 

1)  a  сони 

E  тўпламнинг юқори чегараси бўлса, 

2) 

E  тўпламнинг ихтиёрий юқори чегараси  M  учун 

М

a



 тенгсизлик 

бажарилса,  a   сони  E   тўпламнинг  аниқ  юқори  чегараси  дейилади  ва 

E

sup

 

каби белгиланади:  

E

a

sup



. 

Демак,  E   тўпламнинг  аниқ  юқори  чегараси,  унинг  юқори  чегаралари 

орасида энг кичиги бўлади. 

13-таъриф. Фараз қилайлик, 

R

E



 тўплам ва 

R

b



 сони берилган 

бўлсин.  Агар 

1) b  сон 

E  тўпламнинг қуйи чегараси бўлса, 

2) 

E   тўпламнинг  ихтиёрий  қуйи  чегараси  m   учун 

m

b



  тенгсизлик 

бажарилса,  b   сони  E   тўпламнинг  аниқ  қуйи  чегараси  дейилади  ва 

E

inf

 

каби белгиланади:  

E

b

inf



. 

Демак,  E   тўпламнинг  аниқ  қуйи  чегараси,  унинг  қуйи  чегаралари 

орасида энг каттаси бўлади. 

“sup”  ва  “inf”  лар  лотинча  “supremum”  ва  “infimum”  сўзларидан 

олинган  бўлиб,  улар  мос  равишда  энг  юқори,  энг  қуйи  деган  маъноларни 

англатади. 

1-теорема.  Фараз  қилайлик, 

R

E



  тўплам  ва 

R

a



  сони    берилган 

бўлсин. a сони   E   тўпламнинг аниқ юқори чегараси бўлиши учун 

1)  a  сони 

E  тўпламнинг  юқори чегараси, 

2)  a   сонидан  кичик  бўлган  ихтиёрий 

)

(

a







  учун 

E   тўпламда 





x

  тенгсизликни  қаноатлантирувчи  x   сонининг  топилиши  зарур  ва 

етарли. 

◄  Зарурлиги. Айтайлик, 

E

a

sup



 

бўлсин. 8-таърифга биноан: 

1) 

E

x





 учун 

a

x



,  яъни  a  сони  E  тўпламнинг юқори чегараси; 

2)   a   сони  юқори  чегаралар  орасида  энг  кичиги.  Бинобарин,  a   дан 

кичик 



 сони учун 





x

 бўлган  

E

x



 сони топилади. 

Етарлилиги.  Теореманинг  иккала  шарти  бажарилсин.  Бу  ҳолда, 

равшанки, 

a





  шартни  қаноатлантирувчи  ҳар  қандай   



  сони 

E  

тўпламнинг  юқори  чегараси  бўлолмайди.  Демак,  a - тўпламнинг  юқори 

чегаралари  орасида энг кичиги. Унда таърифга кўра 

E

a

sup



 

бўлади. ► 

Худди шунга ўхшаш қуйидаги теорема исботланади. 

2-теорема.  Фараз  қилайлик, 

R

E



  тўплам  ва 

R

b



  сони  берилган 

бўлсин. b  сони   E   тўпламнинг аниқ  қуйи  чегараси бўлиши учун 

1)   b  сони 

E  тўпламнинг қуйи чегараси, 

2)  b   сонидан  катта  бўлган  ихтиёрий 

)

(

b







  учун 

E   тўпламда  





x

  тенгсизликни  қаноатлантирувчи  x   сонининг  топилиши  зарур  ва 

етарли.       

Эслатма. Агар 

R

E



 тўплам юқоридан чегараланмаган бўлса, у ҳолда 





E

sup

, 

қуйидан чегараланмаган бўлса, у ҳолда 





E

inf

 

деб олинади. 

2

0

.  Аниқ чегараларнинг мавжудлиги.   

Айтайлик,  

...

...

,

2

1

0

n













 

мусбат ҳақиқий сон бўлсин, бунда 

.

1

},

9

,

8

,

7

,

6

,

5

,

4

,

3

,

2

,

1

,

0

{

,

}

0

{

0

0









n

N

N

n







 

Ушбу 

n

n

n

n

n

n

n

n

b

a

10

1

...

10

10

)

1

...(

,

,

10

...

10

10

...

,

2

2

1

0

2

1

0

2

2

1

0

2

1

0





























































 

рационал сонлар учун 

n

n

b

a







 

бўлади. 

Демак, ихтиёрий ҳақиқий сон олинганда шундай иккита рационал сон 

топиладики, улардан бири шу ҳақиқий сондан кичик ёки тенг, иккинчиси эса 

катта бўлади. 

Энди  сонлар  тўпламининг  аниқ  чегараларининг  мавжудлиги  ҳақидаги 

теоремаларни келтирамиз. 

3-теорема.  Агар  бўш  бўлмаган  тўплам  юқоридан  чегараланган  бўлса, 

унинг аниқ юқори  чегараси мавжуд бўлади. 

Бу теоремани 











E

Е

),

,

0

[

 

тўплам учун исботлаймиз. 

◄  E  тўплам юқоридан чегараланган бўлсин: 

.

:

,

M

x

E

x

R

M











 

Архимед аксиомасини эътиборга олиб, 

N

M



дейиш мумкин. 

Энди  E  тўплам  

)

(

...

,

2

1

0

Е















 

элементларининг бутун қисмларидан, яъни 

0



ларидан иборат тўпламни 

0

F

 

дейлик: 





E

N

F









...

,

|,

}

0

{

2

1

0

0

0













. 

Бу  тўплам  ҳам  юқоридан  M  сони  билан  чегараланган  ва 

.

0





F

 

Равшанки, 

}

0

{

0



N

F



.  Бундан 

0

F

  тўпламнинг  чекли  эканлигини  топамиз. 

Демак, 

0

F

 тўпламнинг энг катта элементи мавжуд. Уни 

0

c

 дейлик: 

0

0

max

c

F



                                       (1) 

E  тўпламнинг  

...

,

2

1

0





c

 

кўринишдаги барча элементларидан иборат тўпламни 

0

E

 деб оламиз: 

}

...

,

{

2

1

0

0

E

c

E









. 

Равшанки,  

.

,

0

0







E

E

E

 

Энди 

0

E

 тўплам  

...

,

2

1

0





c

 

элементларининг 

1



 ларидан иборат тўпламни олиб, уни 

1

F

 дейлик: 

}.

...

,

|

}

9

...,

,

2

,

1

,

0

{

{

0

.

2

1

0

1

1

E

c

F













 

Бу чекли тўплам бўлиб,  





1

F

 бўлади. Шунинг учун унинг энг катта 

элементи мавжуд. Уни  

1

c

 деб оламиз: 

1

1

max

c

F



                    

(2) 

0

E

 тўпламнинг 

...

,

3

2

1

0





с

c

 

кўринишдаги барча элементларидан иборат тўпламни 

1

E

  деб оламиз: 

}.

...

,

{

0

3

.

2

1

0

1

E

c

c

E









 

Равшанки,  







1

0

1

,

E

E

E

. 

Энди 

1

E

 тўплам  

...

,

3

2

1

0





с

c

 

элементларининг 

2



 ларидан иборат тўпламни олиб,  уни  

2

F

 дейлик: 

}.

...

,

,

|

}

9

...,

,

2

,

1

,

0

{

{

1

.

2

1

0

1

2

E

c

c

F











 

Бу  тўплам  ҳам  чекли  ва 





2

F

  бўлиб,  унинг  энг  катта  элементи 

мавжуд: 

    

2

2

max

c

F



 

 

               

(3) 

1

E

 тўпламнинг 

...

,

3

2

1

0



с

с

c

 

кўринишдаги барча элементларидан иборат тўпламни 

2

E

  деб оламиз: 

}

...

,

{

1

3

2

1

0

2

E

c

c

c

E







 

Бу жараённи давом эттира бориш  натижасида  

...

...

,

2

1

0

n

c

с

с

c

a



 

ҳақиқий сон ҳосил бўлади. 

Энди  E   тўплам  ва  бу  a   сон  учун  1-теореманинг  иккала  шартларини 

бажарилишини кўрсатамиз: 

1)  Юқоридаги  (1)  муносабатга  кўра 

E





...

,

3

2

1

0









  учун 

0

0

с





 

бўлади. 

Агар 

0

0

с





 бўлса, у ҳолда 

a



...

,

2

1

0







 бўлади. 

Агар 

0

0

с





  бўлса,  у  ҳолда 

0

2

1

0

...

,

E

c







  бўлиб,  (2)  муноса-батга 

кўра 

1

1

с





 бўлади. 

Агар 

1

1

с





 бўлса у ҳолда 

a



...

,

2

1

0







 бўлади. 

Агар 

1

1

с





 бўлса, у ҳолда 

1

2

1

0

...

,

E

с

c





 бўлиб, (3) муносабатга кўра 

2

2

с





 бўлади. 

Бу жараённи давом эттириш натижасида икки ҳолга дуч келамиз: 

а) шундай  

0



n

 топиладики, 

n

n

n

n

c

c

c

c





















,

...

,

,

1

1

1

1

0

0

 

бўлиб, 

a



...

,

2

1

0







 бўлади. 

б) ихтиёрий 

0



n

 да   

n

n

с





  бўлиб, 

a



...

,

2

1

0







 бўлади. 

Демак, ҳар доим 

a



...

,

2

1

0







  муносабат ўринли бўлади; 

2)  a  сондан кичик бўлган ихтиёрий 

...

...

,

2

1

0

n













 

ҳақиқий сонни олайлик: 

...

...

,

...

...

,

2

1

0

2

1

0

n

n

с

с

с

с











 

Унда шундай 

0



n

 топиладики, 

n

n

n

n

c

c

c

c





















,

...

,

,

1

1

1

1

0

0

 

бўлади. Шуни эътиборга олиб, 

Е

Е

х

n







 учун  

...

...

,

2

1

0

n

x











 

бўлишини топамиз. 

Шундай  қилиб  теоремада  келтирилган  E   тўплам  ва  a   сони  учун  1-

теореманинг  иккала  шартининг  бажарилиши  кўрсатилди.  Унда  1-теоремага 

мувофиқ  E  тўпламнинг аниқ юқори  чегараси мавжуд ва  

E

a

sup



 

бўлиши келиб чиқади. ► 

Худди шунга ўхшаш қуйидаги теорема исботланади. 

4-теорема.  Агар  бўш  бўлмаган  тўплам  қуйидан  чегараланган  бўлса, 

унинг аниқ қуйи чегараси мавжуд бўлади. 

Эслатма.  Тўпламнинг  аниқ  қуйи  ҳамда  аниқ  юқори  чегаралари  шу 

тўпламга тегишли бўлиши ҳам мумкин, тегишли бўлмаслиги ҳам мумкин. 

1

0

.  Икки  ҳақиқий  сонлар  йиғиндиси,  айирмаси,  кўпайтмаси  ва