2-ma’ruza. Parametr qatnashgan tenglama va tengsizliklar

2-ma’ruza.
Parametr qatnashgan tenglama va tengsizliklar.
Reja.
1. Bir noma’lumli birinchi darajali parametrga bog’liq tenglamalar.
2. Birinchi darajali ikki noma’lumli parametrga bog’liq tenglamalar sistemalari.
3. Bir noma’lumi birinchi darajali parametrli tengsizlik va tengsizliklar sistemasi.
4. Bir noma’lumi modulli tenglamalar.
5. Parametrli kvadrat uchhadlar.
6. Parametrli kvadrat tenglamalar.
7. Parametrli kvadrat tengsizliklar.
8.Yuqori darajali parametrli tenglamalar.
9. Kasr ratsional tenglamalar va tengsizliklar.
10.Parametr qatnashgan irratsional tenglamalar.
11.Parametrli irratsional tengsizliklar.
12.Parametrli ko’rsatkichli tenglamalar.
13.Parametrli logarifmik tenglamalar.
14.Ko’rsatkichli tengsizliklar.
15.Logarifmik tengsizliklar.
Tayanch iboralar: Parametr, tenglama,tengsizlik, chizigli, kvadrat, modulli, irratsional, ko’rsatkichli, logarifmik parametrli tenglama va tengsizlik, yechim,ildiz.
Bir noma’lumi birinchi darajali parametrga bog’liq tenglamaning umumiy ko’rinishi quyidagicha:
.

1. 
   Tenglamada va parametrlarning olishi mumkin bo’lgan qiymatlariga mos uning yechimlari haqida quyidagi hollarni sanab ko’rsatish mumkin:
   

a) Agar bo’lsa, (1) tenglama faqat bitta yechimga ega ( parametrning qiymatlariga bog’liq emas).
B) Agar , bo’lsa, (1) tenglama yechimga ega emas.
V) Agar , bo’lsa, (1) tenglama cheksiz ko’p yechimga ega, ya’ni nomahlumning har qanday qiymati (1) tenglamani qanoatlantiradi.
Demak, bir noma’lumi birinchi darajali tenglamalarni yYechishda dastlab uni (1) ko’rinishga keltirish kerak. So’ngra masalaning qo’yilishiga bog’liq holda a), b), c) hollarga muvofiq yechim aniqlanadi.
1-misol. ning qanday qiymatida tenglama yechimga ega emas?
Yechish: , , .
Oxirgi tenglama yechimga ega bo’lmasligi uchun bo’lib, bo’lishi kerak. dan qiymatda berilgan tenglama yechimga ega emas.
Javob: .
Birinchi darajali ikki noma’lumi parametrga bog’liq tenglamalar sistemalari.
Birinchi darajali ikki noma’lumi tenglamalar sistemasining umumiy ko’rinishi quyidagicha:
(1)
(1) sistemadagi har bir tenglama geometrik ma’no jihatidan dekart koordinatalar sistemasida to’g’ri chiziqni ifodalaydi. Sistemaning yechimi esa bu to’g’ri chiziqlarning umumiy nuqtalarini ifodalaydi. Berilgan to’g’ri chiziqning koordinatalar sistemasida qanday joylashishi (yoki ) parametrlarning qiymatiga bog’liq. Shuning uchun, (1) sistemadagi ikki to’g’ri chiziqlarning o’zaro vaziyati quyidagi 3 xilda bo’lishi mumkin.
1) to’g’ri chiziqlar faqat bitta nuqtada kesishadi, demak sistema yagona yechimga ega bo’ladi;
2) to’g’ri chiziqlar ustma-ust tushadi, demak sistema cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi;
3) to’g’ri chiziqlar o’zaro parallel bo’ladi, ya’ni kesishmaydi, demak sistema yechimga ega emas.
Yuqorida ta’kidlanganidek, to’g’ri chiziqlarning holati parametrlarning qiymatlariga bog’liq bo’lgani uchun (1) sistemaning yechimi va parametrlarning qiymatlari orasida quyidagicha bog’lanish mavjud:
a) - bunda (1) sistemadagi to’g’ri chiziqlar faqat bitta nuqtada kesishadi. Demak, sistema bitta yechimga ega bo’ladi (sistemadagi va parametrlarning qiymatlariga bog’liq emas).
B) - bunda (1) sistemadagi to’g’ri chiziqlar ustma-ust tushadi, ya’ni sistema cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi;
c) - bunda (1) sistemadagi to’g’ri chiziqlar o’zaro parallel bo’ladi, ya’ni sistema yechimga ega emas.
Agar yuqoridagi a), b), c), holatlardagi nisbatlardan birortasini aniqlash imkoni bo’lmasa, ya’ni , yoki , yoki _­ lardan aqalli bittasi 0 ga teng bo’lgan holda ham sistemaning yechimi haqida xulosa chiqarish mumkin. Masalan , lekin bo’lsa, (1) sistemadagi ikkinchi tenglama absissalar o’qiga parallel bo’lgan to’g’ri chiziqni ifodalaydi. Bu holda, agar bajarilsa, va to’g’ri chiziqlar yoki ustma-ust tushadi yoki ular o’zaro parallel bo’ladi, ya’ni sistema yo cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi yoki yechimga ega bo’lmaydi. bo’lib, bo’lgan holda ham xuddi yuqoridagidek tahlil qilish mumkin.
Agar bo’lib, bo’lsa, (1) sistemaning yechimga ega bo’lish yoki bo’lmasligi ning qiymatiga bog’liq bo’ladi, agar bo’lsa, to’g’ri chiziqlar ustma-ust tushadi, ya’ni sistema cheksiz ko’p yechimga ega; agar bo’lsa, to’g’ri chiziqlar o’zaro parallel bo’ladi, ya’ni sistema yechimga ega bo’lmaydi.
2-misol.
ning qanday qiymatlarida quyidagi sistema yechimga ega bo’lmaydi:

Yechish: . Demak, bo’lsa, ya’ni qiymatlarda to’g’ri chiziqlar o’zaro parallel bo’ladi, ya’ni sistema yechimga ega bo’lmaydi.
Javob: .
Bir noma’lumi birinchi darajali parametrli tengsizlik
va tengsizliklar sistemasi.
Bir noma’lumi birinchi darajali tengsizlikni doimo (yoki ) ko’rinishga olib kelish mumkin. Bu tengsizlikning yechimlar to’plami xuddi tenglamalardagidek, har xil (cheksiz, bo’sh) bo’lishi mumkin, chunki tengsizlikning yechimi va larning qiymatlariga bog’liq.
Agar
(1)
tengsizlik yechimga ega bo’lsa, u holda, u cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi. Buning uchun bo’lishi yetarli, lekin bu shart zaruriy emas, chunki bo’lgan holda ham tengsizlik cheksiz ko’p yechimga ega bo’lishi mumkin. (1) tengsizlikdagi va parametrlarning qiymatiga qarab, uning yechimlari to’plamining qanday o’zgarishini ko’rib chiqaylik.

1. 
   (1) tengsizlikda bo’lsa, u cheksiz ko’p yechimga ega bo’lib, yechimning umumiy ko’rinishi shartda , shatrda esa ko’rinishda bo’ladi, ya’ni sonlar o’qida yarim to’g’ri chiziqni ifodalaydi.
   
2. 
   Agar (1) tengsizlikda bo’lib, bo’lsa, shartda ning har qanday qiymati tengsizlik yechimi bo’ladi, shartda esa tengsizlik yechimga ega emas.
   
3. 
   Agar (1) tengsizlikda , bo’lsa, ning har qanday qiymati tengsizlik yechimi bo’ladi.
   
4. 
   Berilgan tengsizlik
   

(2)
ko’rinishda bo’lsa, yuqoridagi 1-, 2- hollarda yechimlar to’plami deyarli bir xil aniqlanadi, lekin 3- holda (2) tengsizlik yechimga ega emas.
(1) va (2) tengsizliklardagi tengsizlik ishoralari qarama-qarshi holda berilgan bo’lsa, ya’ni (1^) va (2^) ko’rinishda bo’lsa, ular xuddi yuqoridagi 1-, 2-, 3-, 4- hollarga o’xshash, tahlil qilish orqali yechish mumkin.
Bir homa’lumli birinchi darajali tengsizliklar sistemasi
yoki yoki
ko’rinishlarda bo’lish mumkin. Har qanday holda ham tengsizliklar sistemasining yechimi har bir tengsizliklar yechimlar to’plamining umumiy qismi (kesishmasi) sifatida aniqlanadi. Sistemadagi va parametrlarning qiymatlariga bog’liq holda uning yechimlar to’plami bo’sh, chekli yoki cheksiz to’plam bo’lishi mumkin.
3-misol. ning qanday qiymatlarida quyidagi sistema yechimga ega bo’lmaydi:

Yechish: Berilgan tengsizliklar sistemasi ko’rinishdagi tengsizlikka teng kuchli bo’ladi. Sistema yechimga ega bo’lmasligi uchun munosabat o’rinli bo’lish zarur. Bundan .
Javob: .
Bir noma’lumi modulli tenglamalar.
Sonning moduli (yoki absolyut qiymati) umumiy o’rta tahlim maktab dasturiga kiritilishiga qaramasdan, u bilan bog’liq bo’lgan misollarni yechishda bahzi o’quvchilar xatolikka yo’l qo’yishadi. Chunki, modulli ifoda moduldan qutilish jarayonida modul ostidagi ifodaning ishorasiga bog’liqligi, shuningdek, modulli tenglamaning yechimini aniqlashda moduldan qutilish uchun qo’yilgan shartlarni e’tiborga olish zarurligini ko’pchilik o’quvchilar chalkashtirib qo’yishadi. Agar modulli tenglama parametrga bog’liq bo’lsa, uni yechishda bir necha xususiy hollarni alohida tahlil qilish ham o’quvchilar uchun murakkab masalalar qatoriga kiradi. Quyida biz modulli tenglamalar va parametrga bog’liq bo’lgan modulli tenglamalarning ba’zilarini yechish to’g’risida to’xtalib o’tmoqchimiz.
Aytaylik, berilgan tenglama bir noma’lumi birinchi darajali bo’lib, unda modul ostidagi ifodalarni nolga aylantiruvchi noma’lumning qiymatlari aniqlangan bo’lsin. Faraz qilaylik, modullarni nolga aylantiruvchi 3 ta, qiymatlar mavjud bo’lsin va ular shartlarni qanoatlantirsin. U holda, bu nuqtalar sonlar o’qini 4 qismga ajratadi: . Shu bilan birga, har bir oraliqning ichki qiymatlarida modullar ostidagi ifodalar bir hil ishorali bo’ladi. Shuning uchun, berilgan masalaning har bir oraliqdagi yechimlari moduldan qutilish orqali yechiladi va tenglamaning yechimi oraliqdagi yechimlar birlashmasi sifatida aniqlanadi.
1-misol: tenglamani yeching.
Yechish:
Modul ostidagi ifodalarni nolga aylantiruvchi noma’lumning qiymatlarini topamiz: .
Sonlar o’qi bu nuqtalar bilan 4 bo’lakka bo’linadi:
.
I hol. shartda berilgan modulli tenglamani quyidagi shaklda yozish mumkin.

chunki, bu holda
, ,
tengsizliklar bajariladi. Oxirgi hosil qilingan tenglamani yechamiz.

bo’lsa, , ya’ni qiymat yechim emas.
Noma’lumning qiymati shartga ziddir. Shuning uchun bu yechim tenglamani qanoatlantirmaydi.
II hol. shartda berilgan tenglamani quyidagicha yozish mumkin:


.
Bu topilgan qiymat ham berilgan tenglama uchun yechim bo’la olmaydi, chunki .
tenglik bajarilgan holda, bu qiymatni tenglamaga qo’yib, ekanini hosil qilamiz.
Demak, oraliqning chegaraviy nuqtalari ham tenglamaning yechimi bo’la olmaydi.
III hol. shartda tenglamaning ko’rinishi quyidagicha:
;

Bu qiymatni ham tenglamaning yechimi sifatida olish mumkin emas, chunki bo’lib, . Chegaraviy bo’lgan qiymatni tenglamadagi noma’lumning o’rniga qo’yib, ekanini, ya’ni qiymat ham yechim bo’la olmasligini ko’ramiz.
IV hol bo’lsin:
;

Lekin .
Demak, berilgan tenglama yechimga ega emas.
Modulli tenglama parametrga bog’liq bo’lsa, tenglamadagi modul ostida berilgan ifodalarni nolga aylantiruvchi noma‘lumning qiymatlari parametrga bog’liq bo’lishi mumkin.
Masalan,
tenglamada .
Modul ostidagi ifodalarni 0 ga aylantiruvchi nomahlumning qiymatlari parametrga bog’liq bo’lib, bu nuqtalar bilan aniqlanadigan oraliqlar ning musbat yoki manfiy qiymatlar qabul qilishiga bog’liq bo’ladi. Agar
bo’lsa, oraliqlar ko’rinishda bo’ladi.
Agar bo’lsa, oraliqlar ko’rinishda, agar bo’lsa, oraliqlar ko’rinishda bo’ladi. bo’lgan holda ham xuddi yuqoridagidek mulohaza yuritish orqali oraliqlarni aniqlash va har bir oraliqlarga mos tenglama yechimini moduldan qutilish usuli bilan yechish mumkin. Demak, parametrga bog’liq modulli tenglamalarni yechishda parametr olishi mumkin bo’lgan xususiy hollar alohida ko’rilishi kerak.
Agar bo’lsa, tenglama ko’rinishga keladi va oraliqlar ko’rinishda bo’ladi.
5-misol. tenglamani yeching.
Yechish. Tenglamada tengsizlik bajarilishi kerak, aks holda, tenglama ziddiyatni ifodalaydi. Demak, shartda tenglama yechimga ega emas. Xuddi shuningdek, da tenglama yechimga ega emas.
Modul ichidagi ifodani 0 ga aylantiruvchi qiymat ga teng (bu yerda ). Bu nuqta bilan sonlar o’qi ikki qismga bo’linadi: .
I hol. . Bu holda tenglama ko’rinishga keladi, yoki

Bu qiymat oraliqda bo’lish shartini aniqlaymiz: .
bo’lishi uchun tengsizlik bajarilishi kerak. tengsizlik bajarilsa ham o’rinli, lekin bu holda yuqorida ko’rganimizdek, tenglamaning yechimi yo’q. bo’lsa, kelib chiqadi, demak shartda tenglamaning yechimi bo’lsa, .
II hol . Bu holda tenglamani quyidagicha yozish mumkin: . Bundan , demak, bo’ladi.
Bu topilgan qiymatning oraliqda bo’lish shartini topamiz.
.
Javob: da ,
da ,
da .

Parametrli kvadrat uchhadlar.

parametrli kvadrat uchhadning umumiy ko’rinishidir. Bunda , , – lar parametrlarning funksiyalaridan iborat. Parametrli kvadrat uchhadga oid har bir masalani yechishda, albatta, bu koeffitsientlarning aniqlanish sohasini parametrlarga nisbatan aniqlab olish kerak. Agar parametrli kvadrat tenglamaning yechimlarini haqiqiy sonlar maydonida aniqlash talab qilingan bo’lsa, u holda qo’shimcha

ko’rinishdagi tengsizlikni qanoatlantiruvchi bu parametrlarning qiymatlarini e’tiborga olish kerak. Umumiy yechim topilgandan so’ng parametrning qiymatlariga oid hususiy hollar, ya’ni yechim parametrlarning kasr ratsional funksiyasi bo’lgan holda, maxrajning 0 ga teng bo’lishi, agar yechimda parametr logarifm ostida kelsa, bu ifodaning musbat va 1 dan farqli bo’lishi alohida ko’rib chiqiladi, ya’ni parametrning olishi mumkin bo’lgan qiymatlari masalaning yechimiga ta’sir etishi mumkin.
Elementar matematikada kvadrat uchhad deganda ko’rinishdagi ifoda tushiniladi, bu erda lar koeffitsientlar, noma’lum deyiladi. yoki _­­­­­ koeffitsientlardan aqalli bittasi 0 ga teng bo’lsa, uni chala kvadrat uchhad deyiladi.
Kvadrat uchhadga doir masalalar yechishda ba’zi hollarda undan to’la kvaadratni ajratib olishdan foydalanish mumkin, chunki uni

shaklda ifodalash mumkin bo’lib, ikkinchi qo’shiluvchi ga bog’liq bo’lmaydi. Bunda ifodani kavadrat uchhadning diskriminanti deyiladi va uning qanday qiymat qabul qilishi kvadrat uchhadning grafigi koordinata o’qlariga nisbatan qanday joylashishini ko’rsatadi.
Masalan, funksiyaning grafigi parabola bo’lib, bo’lsa, bu parabola o’qini ikkita nuqtada kesib o’tadi, bo’lsa, bitta nuqtada, agar bo’lsa, umuman kesishmaydi. Bu o’rinda shuni eslatib o’tish kerakki, bo’lsa, parabolaning shoxlari tepaga qaragan bo’ladi, agar bo’lsa, pastga qaragan bo’ladi.
Parametrli kvadrat tenglamalar.
(1)
tenglamaning yechimlari
(2)
va
(3)
formulalar bilan aniqlanib, bu nuqtalar parabolaning o’qi bilan kesishish nuqtasini ifodalaydi.
(2), (3) formulalar va yuqoridagi shakllardan ko’rinadiki, tenglamaning haqiqiy sonlar to’plamidagi yechimlari ning qiymatiga bog’liq bo’lib, u 2 ta ( da), 1 ta ( da) ildizga ega yoki ildizi yo’q bo’lishi mumkin ( da).
Kompleks sonlar maydonida esa tenglama va hollarda 2 ta komplekc yechimga, da esa 1 ta kompleks yechimga ega bo’ladi.

1. 
   kvadrat tenglamaning yechimlari va quyidagi xossalarga ega:
   

1. 
   agar va lar (1) ning yechimlari bo’lsa, u holda kvadrat uchhad 2 ta chiziqli ko’paytuvchilarning ko’paytmasi shaklida ifodalanadi.
   

(Viet teoremasi)
2.

Bu formulalardan foydalanib kvadrat uchhadga oid bahzi masalalarni oson yechish mumkin.
6-misol. Bitta ildizi bo’lgan ratsional koeffitsientli kvadrat tenglama tuzing.
Yechish. ekanini bilgan holda, Viet formulasiga asosan deb olishimiz kerak, chunki , va - ratsional sonlar bo’lishi kerak.
Demak izlanayotgan tenglama ko’rinishda bo’ladi.
7-misol. va lar qanday shartni qaniatlantirsa, kvadrat tenglamaning ildizlari tenglikni qanoatlantiradi?
Yechish: Masalaning shartidan foydalanib, quyidagi sistemani hosil qilamiz:

Uni , ga nisbatan yechib shartda larni topamiz. Bulardan va tenglikdan foydalanamiz.
.
Agar bo’lib, shart bajarilsa, yuqoridagi sistema ziddiyatli bo’ladi va masala yechimga ega emas. Agar bo’lib bo’lsa, masala cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi. Masalan, tenglamaning , yechimlari uchun shartni qo’ysak, , ya’ni shart bajarilishi kerak.

Parametrli kvadrat tengsizliklar.
Kvadrat tengsizlik umumiy holda
(1)
ko’rinishda bo’ladi. Uning yechimi, albatta koeffitsientlar oladigan qiymatlarga bog’liq. Agar koeffitsientlar aniq qiymatlar bilan berilgan bo’lib, uni yechish talab qilinsa, (1) tengsizlikning chap tomonidagi kvadrat uchhad diskriminanti tekshiriladi. Bu diskriminantning qiymati musbat, manfiy va nolga teng bo’lishi mumkin.
I. bo’lgan holda, kvadrat uchhadning grafigi absissa o’qini ikkita va nuqtalarda kesib o’tadi. Agar bo’lsa, (1) tengsizlikning yechimlar to’plami bo’ladi. (bu erda tengsizlik o’rinli deb olindi). Agar bo’lsa, yechimlar to’plami kesmadan iborat bo’ladi.
II. bo’lgan holda, (1) ning yechimi faqat ning qiymatiga bog’liq bo’lib, tengsizlik bajarilsa, yechimlar to’plami  to’plam, bo’lganda esa, yechimlar to’plami to’plamdan iborat bo’ladi.
III. bo’lsa, (1) tengsizlikning chap tomonidagi kvadrat uchhad to’la kvadratni ifodalaydi va (1) tengsizlik bo’lganda (bu holda bo’ladi) ko’rinishda bo’ladi, agar bo’lsa (bu holda bo’ladi), (1) tengsizlik ko’rinishda bo’lib, uni ko’rinishda yozish mumkin. Bulardan ko’rinadiki, agar bo’lsa, (1) tengsmizlikning yechimlar to’plami to’plamdan iborat bo’ladi. Agar bo’lsa, (1) tengsmizlikning yechimlar to’plami  to’plam bo’ladi.
Agar (1) tengsizlikdagi tengsizlik ishorasi boshqacha ko’rinishda bo’lsa, uning yechimi ham mos ravishda o’zgaradi.
8-misol. ning qanday qiymatlarida tengsizlik har qanday lar uchun o’rinli bo’ladi?
Yechish. Masalaning shartidan quyidagi ikkita shart bajarilishi kerak: va . Demak, va va . ekanligini ehtiborga olsak, har qanday lar uchun berilgan tengsizlik ning shartni qanoatlantiruvchi qiymatlari uchun bajariladi.
Javob: .
Yuqori darajali parametrli tenglamalar.
Tenglamaning darajasi ortishi bilan uning yechimini topish murakkablashadi. Darajasi 5 yoki undan yuqori bo’lgan tenglamaning ildizlarini uning koeffitsientlari orqali ifodalash mumkin emasligi isbotlangan. Lekin, ba’zi yuqori darajali tenglamalarni yechishda umumiy qoida mavjud bo’lib, ulardan bahzi birlarini ko’rib o’tamiz.
1) Bir jinsli va bir jinsliga keltiriladigan tenglamalar.
Agar ko’p o’zgaruvchili ko’phad bo’lib son uchun tengsizlik bajarilsa, ni tartibli bir jinsli ko’phad deyiladi. bir jinsli bo’lgan holda
(1)
tenglamani bir jinsli tenglama deyiladi.
Bir jinsli tenglama har doim trivial yechimga ega. Agar (1) tenglama trivial bo’lmagan yechimga ega bo’lsa, u holda bu tenglama cheksiz ko’p yechimlarga ega bo’ladi, chunki son uchun ekani kelib chiqadi, ya’ni ham yechim bo’ladi.
Agar bir jinsli tenglamaning barcha hadlari ko’rinishidagi umumiy ko’paytuvchiga ega bo’lsa, uni qavsdan tashqariga chiqarib, berilgan tenglamaga teng kuchli bo’lgan
(2)
ko’rinishidagi tenglamani hosil qilamiz. (2) tenglamada bo’lsa, o’zgaruvchilarning ixtiyoriy son qiymatlari orqali (1) tenglamaning notrival yechimlarini hosil qilamiz. Xuddi shuningdek, bo’lsa, o’zgaruvchilarning ixtiyoriy son qiymatlari (1) tenglamaning yechimi bo’ladi va hokazo. Demak, bu holda tenglamaning cheksiz ko’p yechimlarini topish mumkin bo’ladi va (2) tenglamadan tenglamani hosil qilamiz. Uning yechimlari ham (1) ning yechimi bo’ladi.
Bizga ikkita noma’lumli
(3)
ko’rinishdari tenglama berilgan bo’lsin. Bu tenglamaning notrivial yechimlarini topish bilan shug’ullanamiz. (3) tenglamada almashtirish bajaramiz va quyidagi ko’rinishdagi tenglamani hosil qilamiz:
(4)
Agar (4) tenglamaning yechimlari bo’lsa, (3) tenglamaning yechimlari (bu erda ixtiyoriy son) ko’rinishda topiladi.
Ko’proq ikki noma’lumi 2 ta bir jinsli tenglamalar sistemasini yechish talab qilinadi. Masalan,
(5)
bir jinsli tenglamalar sistemasini yechishda har bir tenglamada umumiy ko’paytuvchilar yo’q bo’lgan holni ko’rish yetarli. Bu tenglamalarda almashtirish bajarib,
(6)
sistemani yechishga olib kelinadi. (6) sistemaning har bir yechimi orqali ( ixtiyoriy son) ko’rinishdagi (5) sistemaning yechimi topiladi.
Agar (5) tenglamalar sistemasi
(7)
ko’rinishda, ya’ni bir jinsli bo’lmasa, lekin lar bir hil darajali bir jinsli bo’lsa, ularda almashtirish bajariladi. yechim emasligidan ni qavs tashqarisiga chiqaramiz.
(4)
(8)
ko’rinishdagi tenglamani yechishga olib kelinadi. (8) ning yechimi orqali (4) va (3) tenglamalardan foydalanib, nomahlumning qiymati topiladi, ya’ni (7) sistemaning yechimi topiladi.
9-misol. ning qanday qiymatlarida
(5)
tenglamaning haqiqiy yechimi to’g’ri chiziqdagi nuqtalar to’plamidan iborat bo’ladi?
Yechish. Berilgan tenglamaning notrival yechimlaridan biri va ixtiyoriy son bo’lishi mumkin bo’lgan yechimlarni topaylik. (5) tenglamani ko’rinishda yozamiz va unda almashtirish bajaramiz. Natijada hosil bo’ladi. yechim bo’lishi shartidan va tengliklardan foydalanib ni topamiz.
Javob: bo’lganda tenglamaning notrivial haqiqiy yechimi to’g’ri chiziqdagi nuqtalar to’plamidan iborat bo’ladi.
Kasr ratsional tenglamalar va tengsizliklar.
Matematikada o’zgaruvchilar ustida to’rt amal (qo’shish, ko’paytirish, ayrish, bo’lish) natijasida hosil qilingan ifodani o’zgaruvchilarga nisbatan ratsional ifoda deyiladi. Keyinchalik biz ratsional ifodalarni va hokazo ko’rinishlarda belgilaymiz.
Tahrif. Ikkita ratsional ifodaning
(1)
ko’rinishdagi tengligi kasr-ratsional tenglama deyiladi.
(1) ko’rinishdagi ratsional tenglamada elementar shakl almashtirishdan so’ng, uni
(2)
ko’rinishga olib kelish mumkin. (1) tenglamaning har qanday yechimi (2) tenglamaning yechimi bo’ladi. Lekin (2) tenglamani hosil qilishda bajarilgan almashtirishlar natijasida (1) tenglamaning aniqlanish sohasi kengayishi mumkinligidan, (2) tenglamaning har qanday yechimi (1) ning ham echimi bo’ladi deb aytish noto’g’ridir.
(1) tenglamaning har qanday yechimi esa
(3)
tenglamaning ham yechimi bo’ladi. (3) tenglamaning aniqlanish sohasi (2) tenglamaning aniqlanish sohasiga nisbatan kengroq bo’lishi mumkin. Demak, (1) tenglamadan (3) tenglamaga o’tilganda, aniqlanish soha faqat kengayishi mumkin. Shjuning uchun (3) tenglama yechilganida uning ba’zi yechimlari (1) tenglamaga nisbatan chet ildizlar bo’lishi mumkin.
Yuqorida aytilgan fikrlarni umumlashtirib kasr-ratsional tenglamalarni yechishda qo’llaniladigan qoidani quyidagicha bayon qilish mumkin:

1. 
   (1) ko’rinishdagi tenglamada hamma ifodalarni tenglamaning bir tomoniga o’tkazib, oddiy shakl almashtirishdan so’ng uni (2) ko’rinishga keltirish;
   
2. 
   (2) ko’rinishdagi tenglamaning suratini 0 ga tenglab, (3) ko’rinishdagi tenglamani yechish ;
   
3. 
   (3) tenglamaning yechimlari ichida (1) tenglamaning chap va o’ng tomonidagi ifodalar ma’noga ega bo’lmaydigan qiymatlarini o’rniga qo’yib, tekshirib ko’rish orqali aniqlangandan so’ng, yechimlar to’plamidan chiqarib tashlash;
   
4. 
   (1) tenglamaning yechimini (3) tenglama yechimi ichidan yuqorida ko’rsatilganidek tekshirish orqali umumiy holda yozish.
   

Kasr-ratsional tenglamalarni yechish, ko’p hollarda birinchi, ikkinchi yoki yuqori darajali tenglamalarni yechishga keladi. Parametrli kasr-ratsional tenglama yechimini to’g’ri aniqlashda berilgan tenglamada parametr olish mumkin bo’lgan hollar to’liq tekshirib olinishi zarur.
10-misol. parametrning qanday qiymatlarida quyidagi tenglama yechimga ega emas:

Yechish. Tenglamada oddiy shakl almashtirishlarni bajaramiz:

Bu tenglama yechimga ega bo’lmasligi uchun yoki kasr suratidagi kvadrat uchhadning diskriminanti manfiy bo’lishi kerak, ya’ni yoki yoki bajarilishi kerak. shartdan berilgan tenglama ning qiymatlarida yechimga ega emasligi, qolgan ikkita shartdan esa, qiymatlarida berilgan tenglama ma’noga ega emasligi kelib chiqadi. Demak, javob bo’ladi.

Kasr-ratsional tengsizliklarni yechish ham kasr-ratsional tenglamalarni yechishdek, teng kuchli tengsizlikka o’tish orqali sodda tengsizliklarni yechishga olib kelinadi. Parametrli kasr-ratsional tengsizlikni yechishda ko’p hollarda parametr olishi mumkin bo’lgan hollar alohida ko’rilishi zarur.
11-misol. Tengsizlikni yeching:

Yechish. Bu tengsizlikni ko’rinishda yozish mumkin.
Bu tengsizlik quyidagi tengsizliklar sistemalariga ekvivalent
va
Yuqoridagi sistemalarni yechishdda va -3 larning qaysi biri kattaligini bilish yetarli. Shuning uchun ularning ayirmasini 0 bilan taqqoslaymiz.

bo’lishi uchun yoki bo’lishi kerak.
bo’lishi uchun bo’lishi kerak. da bo’ladi.
Demak va shartlarda o’rinli. bajarilganda esa tengsizlik bajariladi. Shunday qilib, qo’yilgan masala yechimi quyidagicha bo’ladi.
va shartlarda

shartda
va
Parametr qatnashgan irratsional tenglamalar.
Algebraik tenglamaning yana bir turi irratsional tenglamadir.
Ta’rif: Agar va lar irratsional funksiyalar bo’lsa, u holda

ko’rinishdagi tenglama irratsional tenglama deyiladi. Bu erda – parametrlar.
Irratsional tenglamani yechishda asosan irratsional ifodalar ustida ayniy shakl almashtirishdan va irratsional funksiyalarning asosiy xossalaridan foydalaniladi.
Bizga tenglama berilgan bo’lsin. Bu erda ning juft yoki toqligiga qarab quyidagi hollar bo’lishi mumkin:
1) 2)
Irratsional tenglamalarni yechishda quyidagi usullardan foydalanish mumkin.

1. 
   Yangi o’zgaruvchi kiritish usuli.
   

Bu usulda tenglamani unga ekvivalent bo’lgan ushbu sistemalarga keltirish mumkin:
yoki
12-misol. Tenglamani yeching.

Yechish. Tenglama berilishidan va tengsizliklar, ya’ni tengsizlik bajarilish kerak.
Ikkinchidan, parametr uchun ham shart bajarilishi kerak.
almashtirish bajaramiz. U holda va , ya’ni bajariladi.
Berilgan tenglama ko’rinishga keladi. Bu erda

shartlar bajariladi. Hosil qilingan tenglamani ga nisbatan yechamiz.
,

ekanligidan u yechim bo’lmaydi.
ni ko’ramiz. shart bajarilishi uchun bajarilishi kerak.
Endi ga mos ning qiymatini topamiz. yoki .
Yechim: da , da bo’sh to’plam bo’ladi.
Parametrli irratsional tengsizliklar.
Irratsional tengsizliklarni yechish irratsional tenglamalarni yechishdan qisman farq qiladi.
Ta’rif. Agar funksiyalar irratsional funksiyalar bo’lsa, u holda

ko’rinishdagi tengsizlik irratsional tengsizlik deyiladi.
Irratsional tengsizliklarni yechish metodlarini aniqlaydigan quyidagi teoremalar mavjud:
1-teorema.

tengsizlik

irratsional tengsizliklar sistemasiga ekvivalentdir.
2-teorema.

tengsizlik

irratsional tengsizliklar sistemasiga ekvivalentdir.
3-teorema.
yoki
ko’rinishdagi tengsizliklar mos ravishda
va
tengsizliklarga ekvivalent bo’ladi.
4-teorema.

tengsizlik

aralash sistemaga ekvivalentdir.
13-misol. tengsizlikni yeching.
Yechish. Tengsizlik ma’noga ega bo’lishi uchun va tengsizliklar o’rinli bo’lishi kerak.
Kvadrat ildiz tahrifdan foydalanib, berilgan tengsizlikda tegishli shakl almashtirishdan so’ng quyidagi tengsizliklar sistemasini hosil qilamiz:
(1)
Agar bo’lsa, u holda bo’lib, yuqoridagi (1) sistemaning yechimi tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha haqiqiy sonlar bo’ladi, chunki

tengsizlik ham o’rinlidir.
Xuddi shu kabi mulohaza yuritib, tengsizliklarni qanoatlantiruvchi parametrning qiymatiga mos (1) sistemaning shartni qanoatlantiruvchi barcha haqiqiy sonlardan iborat yechimini topamiz.
Endi bo’lgan holni o’rganamiz. Bunda bo’ladi. Bulardan foydalanib, sistemani quyidagicha yozish mumkin:
(2)
Bu sistemadagi birinchi tengsizlikning chap tomonidagi ga nisbatan kvadrat uchhadning diskriminanti bo’lishi kerak.
Lekin ham ga nisbatan kvadrat uchhad bo’lib, ning har qanday haqiqiy qiymatida uning diskriminanti manfiy bo’ladi. Demak, ning har qanday haqiqiy qiymatida musbat bo’lib,
(3)
tenglama ikkita haqiqiy ildizlarga ega bo’ladi:

va
.
Shu bilan birga tengsizlik ham o’rinli. Shuning uchun (2) sistema quyidagi ikkita sistemaga teng kuchli bo’ladi:


parametrni va lar bilan taqqoslaymiz. Buning uchun (3) tenglamada almashtirish bajaramiz.

.
Demak, kvadrat uchxad qiymatda manfiy qiymat qabul qiladi, shuning uchun tengsizlik o’rinli.
Bundan esa

sistemaning yechimga ega emasligi kelib chiqadi.

sistemaning yechimi esa tengsizlik bilan aniqlanadi. Natijada, parametrning qiymatlariga mos quyidagi yechimni topamiz:
Agar bo’lsa, ;
agar bo’lsa, ;
agar bo’lsa, .
Parametrli ko’rsatkichli tenglamalar.
Sodda ko’rsatkichli tenglamaning umumiy ko’rinishi va shartlarni qanoatlantiruvchi haqiqiy son uchun ko’rinishda yoziladi. Bu tenglama shart bajarilganda yagona yechimga ega va bu yechim ko’rinishda bo’ladi. Agar tengsizlik bajarilsa, bu tenglama yechimga ega emas.
Agar tenglama ko’rinishda bo’lsa, uni elementar ko’rsatkichli tenglama deyiladi. Bu tenglamadagi va funksiyalar aniqlanish sohalarining umumiy qismi berilgan tenglamaning aniqlanish sohasi bo’ladi.
Elementar ko’rsatkichli tenglamada shartlar bajarilsa, uning yechimi tenglamaning aniqlanish sohasiga kiruvchi barcha haqiqiy sonlar, agar shartlar bajarilsa, berilgan tenglama ko’rinishdagi, agar shartlar bajarilsa, u holda ko’rinishdagi tenglamalarni yechishga olib kelinadi. Hosil qilingan tenglamalar yechimlari ichidan berilgan tenglama aniqlanish sohasiga kiruvchi qiymatlar mos ravishda yechimlar bo’ladi. Agar tenglik bajarilsa, berilgan tenglama ko’rinishdagi tenglamaga teng kuchli bo’ladi. Boshqa hollarda elementar ko’rsatkichli tenglamani yechish uchun unga teng kuchli bo’lgan

tenglamadan foydalaniladi.
Oxirgi tenglama shartda shartda esa ko’rinishga keladi.
Yuqoridagilardan ko’rinadiki, ko’rsatkichli tenglamalarning yechimlarini tenglamaning koeffitsientlari ustida algebraik amallar bajarish orqali hosil qilish mumkin emasligini ko’rsatadi.
14-misol. tenglamani yeching.
Yechish:

J:
Parametrli logarifmik tenglamalar.
Eng sodda logarifmik tenglamalar ko’rinishda bo’lib, bu yerda shartlar bojarilishi kerak. Bunday tenglamaning aniqlanish sohasi

sistema yechimi orqali aniqlanadi. Agar tenglamada tenglik o’rinli bo’lsa, u holda logarifmik tenglama ko’rinishdagi tenglamaga teng kuchli bo’ladi. Agar shart bajarilsa, logarifmlar uchun bir asosdan ikkinchi asosga o’tish formulasidan foydalanib, berilgan tenglamaga teng kuchli quyidagi tenglamani hosil qilamiz:

yoki
.
Bundan foydalanib, tenglamani

ko’rinishdagi soddaroq tenglamani yechishga olib kelish mumkin. Har qanday logarifmik tenglamani yechish, logarifmning ta’rifi va xossalaridan foydalanish orqali yana logarifmik tenglamani yechishga olib kelinadi.
15-misol. 1. tenglamani yeching.
Yechish: parametrning olishi mumkin bo’lgan qiymatlar sohasi shartlar bilan aniqlanadi. Logarifmning xossasidan esa, noma’lumning va shartlarni qanoatlantiruvchi qiymatlari ichidan tenglama yechimi topiladi. Yuqoridagi shartlar asosida tenglamani yechamiz.
,

.
Oxirgi tenglama ikki holda yechiladi.
1) bo’lsin. U holda

yoki
,
.
Tekshirib ko’rish mumkinki, tengsizliklar o’rinli bo’ladi.
2) bo’lsin. U holda tenglamani ko’rinishda yozish mumkin. Bu tenglamani yechib,

qiymatlarni topamiz. qiymat uchun shartda tengsizlik bajariladi, lekin bo’ladi. Shunday qilib, quyidagi javobni topamiz:
agar bo’lsa,

agar bo’lsa,
.
Ko’rsatkichli tengsizliklar.
Quyidagi

tengsizliklarning har biri shartda sodda ko’rsatkichli tengsizlik deyiladi.
Agar bo’lsa, ko’rsatkichli tengsizlikni yechish ko’rinishdagi tengsizlikni yechishga olib kelinadi. Agar bo’lsa, tengsizlik tengsizlikka teng kuchli bo’ladi. Sodda ko’rsatkichli tengsizliklardan qolganlari ham mos ravishda o’ziga teng kuchli bo’lgan oddiy tengsizlikka almashtirilgandan so’ng yechiladi. Ko’rsatkichli tengsizliklar tegishli almashtirishlardan so’ng sodda ko’rsatkichli tengsizlikka olib kelinadi.
Sodda ko’rsatkichli tengsizliklarni unga teng kuchli bo’lgan tengsizliklar sistemasi bilan almashtirishning quyidagi xususiy hollarini eslatib o’tish zarur:
yoki ;

yoki yoki ;

yoki ;
yoki .
16-misol. Parametrli tengsizlikni yeching:
.
Yechish: Tenglamada almashtirish bajaramiz.

Hosil bo’lgan kasr-ratsional tengsizlikni ga nisbatan yechamiz.

Bu oxirgi tengsizlikning yechimi va dan iborat. va tengsizliklardan va kelib chiqadi yoki va .
Agar bajarilsa, va , agar bo’lsa, va tengsizliklar o’rinli bo’ladi. Natijada quyidagi javobni hosil qilamiz:
Agar bo’lsa, ;
Agar bo’lsa, .
Logarifmik tengsizliklar.
Quyidagi , , , tengsizliklarning har biri va shartlarda sodda logarifmik tengsizlik deyiladi. Ulardan birinchisining yechimini topish haqida fikr yuritaylik.
Agar bo’lsa, tengsizlik

sistemaga, agar bo’lsa, berilgan tengsizlik

sistemaga teng kuchli bo’ladi.
Sodda logarifmik tengsizliklarning qolganlari ham mos ravishda soddaroq teng kuchli sistemalar bilan almashtirishdan so’ng yechiladi.
Logarifmik tengsizliklarni yechishda logarifmning ta’rifi va xossalaridan foydalanib, uni sodda logorifmik tengsizlik ko’rinishga olib kelinadi.
17-misol. tengsizlikni yeching.
Yechish:
, ,
, ,
.
Bu yerda ikki hol bo’lishi mumkin:
1-hol. bo’lsa, va ;
2-hol. bo’lsa, va .
Javob:
Nazorat savollari.
1.Qanday tenglamalar parametrli tenglamalar deyiladi?
2. Bir noma’lumli birinchi darajali parametrga bog’liq tenglamalar qanday
yechiladi?
3. Birinchi darajali ikki noma’lumli parametrga bog’liq tenglamalar sistemalarini
yechish deganda nimani tushunasiz?
4. Bir noma’lumi modulli parametrik tenglamalar qanday yechiladi?
5. Parametrli kvadrat uchhadlar qanday ko’rinishda bo’ladi?
6. Parametrli kvadrat tenglamalar qanday yechiladi?
7.Yuqori darajali parametrli tenglamalar qanday ko’rinishda bo’ladi?
8.Parametr qatnashgan irratsional tenglamalarni yechishda nimalarga e’tibor berish
kerak?
Foydalanilgan adabiyotlar.

1. 
   Muhamedov K.”Elementar matematikadan qo’llanma” O’quv qo’llanma. Sharq nashriyoti matbaa ak.komp.Toshkent 2008 y.
   
2. 
   Usmonov F.R, Isomov R.D “Matematikadan qo’llanma” O’quv qoʻllanma. “Yangi asr avlodi” nashriyoti. Toshkent 2006 y.
   
3. 
   Usmonov F.R, Isomov R.D “Matematikadan qo’llanma” O’quv qoʻllanma.“Yangi asr avlodi” nashriyoti. Toshkent 2006 y.