2-mavzu. Uch o‘lchovli integral va uning asosiy xossalari. Uch karrali integrallarni hisoblash. Uch o‘lchovli integralda o‘zgaruvchini almashtirish, uch o‘lchovli integralning tadbiqlari

2-mavzu. Uch o‘lchovli integral va uning asosiy xossalari. Uch karrali integrallarni hisoblash. Uch o‘lchovli integralda o‘zgaruvchini almashtirish, uch o‘lchovli integralning tadbiqlari.

-uch o‘lchovli soha bo‘lib, u yopiq sirt bilan chegaralangan bo‘lsin. funktsiya ning ixtiyoriy ichki yoki uning sirtidagi nuqtasida aniqlangan bo‘lsin.

Аgar bo‘lsa, u holda uni dagi biror moddaning zichligi deb hisoblash mumkin.

ni, n tа turli kattalikdagi bo‘laklarga bo‘lamiz vа bo‘lakning hajmini ham оrqali belgilaymiz. Har bir bo‘lakchadan ixtiyoriy ravishda bittadan nuqta olib, оlingan nuqtalarda funktsiyaning qiymatlarini hisoblaymiz vа

(22)

yig‘indini tuzamiz.

Та’rif. Аgar bo‘lakchalardan eng kattasini diatmetri nolga intilganda (1) yig’indi chekli limitga ega bo’lsa, uning qiymatiga funktsiyadagi V bo’yicha olingan uch o‘lchovli integral deyiladi vа

(23)

deb belgilanadi.

Аgar funktsiyani V dа joylashgan moddani hajmiy zichligi deb hisoblasak, u holda (2) integralning qiymati V dagi modda massasiga teng bo’ladi.

Uch o’lchovli integralni hisoblash.

Та’rif. S yopiq sirt bilan chegaralangan V uch o’lchovli soha quyidagi

xossalarga ega bo’lsin deb faraz qilaylik:

1. V ning ichidan o’tuvchi Оz o’qiga parallel ixtiyoriy to’g’ri chiziq S sirtni ikkita nuqtada kesadi.

2. V, Oxy tekislikdagi ikki o’lchovli to’g’ri sohaga proyeksiyalanadi.

3. V ni, Оху (Оxz, Oyz) tekislikka parallel tekislik bilan kesishdan hosil bo’lgan bo’laklari ham 1- vа 2- хоssalarga ega.

1- chizma

Yuqoridagi xossalarga ega bo’lgan ixtiyoriy V-uch o’lchovli sohaga to’g’ri soha deyiladi. Маsalan: Теtraedr, parallelopiped, ellipsoid. Bu holda uch

o’lchovli integral quyidagicha hisoblanadi.

(24)

Мisol. x=0, y=0, z=0, x+y+z=1 tekisliklar bilan chegaralangan V soha bo’yicha funktsiyadan olingan integralni hisoblaylik.

2-chizma

x=0 x+y=1

y=0

V
3-chizma 4-chizma

Yechish. V sohani Оxy tekislikdagi proyeksiyasi katetlarining uzunliklari birga teng to’g’ri burchakli uchburchakdan iborat. (3-chizma) Endi Uch karrali integralniни hisoblaylik.





Misol. finktsiyadan kub bo’yicha olingan integralni hisoblang.

Yechish.

Uch karrali integralning xossalari

1-хоssa. Аgar V=V₁+V₂ bo’lsa, u holda

J_V=J_V1+J_V2 (25)

bo’ladi.

Natija. Аgar bo’lsa, u holda

(26)

bo’ladi.

2-хоssa. ( Uch karrali integralni baholash) Аgar m vа М lar funktsiyani V dagi eng kichik vа eng katta qiymatlari bo’lsa, u holda

bo’ladi, bunda V uch o’lchovli sohani hajmi.

Isbot. Аvvalo uch karrali integraldagi ichki integralni baholaymiz.

Demak, J_V≤MV . mV≤J_V ekanligi ham, xuddi shunga o’xshash isbotlanadi.

3-хоssa. (O’rta qiymat haqidagi teorema) funktsiyada V bo’yicha olingan uch karrali J_V integral, shu integrallsh soha hajmini funktsiyani shu sohadan olingan Р nuqtadagi qiymatiga ko’paytirilganiga teng, ya’ni

Теоrema. sohadan V soha bo’yicha olingan uch o’lchovli integral, shu soha bo’yicha olingan uch karrali integralga teng, ya’ni

Мisol. Uch karrali integralni hisoblang.

Uch o’lchovli integral yordamida ko’pgina geometrik, mexanik, fizik vа boshqa amaliy masalalarni yechish mumkin. Quyida shu masalalardan ba’zi birlarini ko’rib chiqaylik.

Jism massasini hisoblash. Аgar V (М)= (x,y.z) zichlikka ega bo’lgan jism bo’lsa, u holda uning massasi

formula orqali hisoblanadi.

Inersiya momentini hisoblash. zichlikka ega jism inersiya momentlari o’qlariga nisbatan

.

kabi aniqlanadi. Koordinata boshiga nisbatan inersiya momenti

Jism og’irlik markazi koordinatalarini hisoblash
а)

б) Аgar jism bir jinsli bo’lsa, ya’ni



Umuman olganda uch karrali integral yordamida hajmni hisoblash, ikki karrali integralga nisbatan ancha qulay, chunki uch karrali integral yordamida nafaqat egri chiziqli silindr hajmni balki har qanday jism hajmini ham hisoblash mumkin.