2-Mavzu. Yuqori tartibli differensial tenglamalar va sistemalarning klassifikatsiyasi. Ikkinchi tartibli ikki o’zgaruvchili xususiy hosilali differensial tenglamalarni kanonik ko’rinishga keltirish

2-Mavzu. Yuqori tartibli differensial tenglamalar va sistemalarning klassifikatsiyasi. Ikkinchi tartibli ikki o’zgaruvchili xususiy hosilali differensial tenglamalarni kanonik ko’rinishga keltirish

(5) tenglama bo’lgan holda, ya’ni ikkita va haqiqiy o’zgaruvchili ikkinchi tartibli kvazichiziqli tenglama ushbu

(1)
ko’rinishda yoziladi.
(1) tenglama xarakterstikalarining tenglamasi chiziqli bo’lmagan
(2)
tenglamadan iboratdir.
Bu tenglamani soddagina usul bilan oddiy differensial tenglamaga keltirish mumkin. Haqiqatan ham, funksiya (2) tenglamani yechimi bo’lsa, egri chiziq (1) tenglamaning xarakterstikasidir. Bu xarakterstika atrofida

yoki

munosabat bajariladi.
(2) tenglamada nisbatni ga almashtirib,
(3)
oddiy differensial tenglamaga ega bo’lamiz.
Aksincha, agar (3) tenglamaning integrali bo’lsa, funksiya (2) xarakterstikalar tenglamasini qanoatlantiradi. (3) tenglik xarakteristik egri chiziqlarning oddiy differensial tenglamasidan iboratdir.
(3) tenglik bilan aniqlangan yo’nalish odatda xarakteristik yo’nalish deyiladi.
kvadratik formaning aniqlangan (musbat, manfiy), ishorasi o’zgaruvchan yoki yarim aniqlangan (bo’zilgan) bo’lishiga qarab, (1) tenglama elliptik, giperbolik va parabolik tipga tegishli bo’ladi. Shunga muvofik kvadratik formaning diskriminanti noldan kichik, katta yoki nolga teng bo’lishiga qarab, mos ravishda (1) tenglama elliptik, giperbolik va parabolik bo’ladi.
Shuning uchun ham (1) tenglama elliptiklik sohasida haqiqiy xarakteristik yo’nalishga ega emas, har bir giperbolik nuqtasida esa ikkita turli haqiqiy xarakteristik yo’nalish, har bir parabolik nuqtada bitta haqiqiy xarakteristik yo’nalish mavjud. Demak, va koeffitsientlar yetarlicha silliq funksiyalar bo’lganda, (1) tenglamaning giperboliklik sohasi xarakteristik egri chiziqlarning ikkita oilasi turi bilan, paraboliklik sohasi esa xarakteristik egri chiziqlarning bitta oilasi turi bilan qoplanadi.
Ushbu
(4)
tenglama uchun, bu yerda musbat haqiqiy son, (3) tenglama

ko’rinishga ega bo’ladi. Bu tenglikdan darhol ko’rinadiki, yarim tekislikda (4) tenglama haqiqiy xarakterstikalarga ega emas, yarim tekislikda xarakteristik egri chiziqlar tenglamasini

ko’rinishda yozib va uni integrallab, yarim tekislik ikkita

xarakteristik egri chiziqlar oilasi bilan qoplanganligini ko’ramiz.

Agar (1) tenglamaning koeffitsientlari tenglama berilgan sohada yetarlicha silliq funksiyalar bo’lsa, va o’zgaruvchilarning shunday maxsus bo’lmagan

almashtirishi mavjud bo’ladiki, (1) tenglama sohada bu almashtirish yordamida quyidagi kanonik ko’rinishlardan biriga keladi.
Elliptik holda
(5)
giperbolik holda
(6)
yoki
(6¹)
va parabolik holda
(7)
(1) tenglama berilgan barcha sohada, ya’ni global uni (5), (6) yoki (7) kanonik ko’rinishga keltirish katta qiyinchiliklar bilan bog’liqdir. Shuning uchun ham, (1) tenglamani soha nuqtasining yetarlicha kichik atrofida, ya’ni lokal kanonik ko’rinishga keltirish bilan chegaralanamiz. (1) tenglamaning koeffitsientlari nuqtaning biror atrofida sinfga tegishli bo’lib,

bo’lsin.
Umumiylikka ziyon yetkazmay deb hisoblashimiz mumkin. Xaqiqatan ham, aks holda bo’lishi mumkin. Bu holda va o’rnini almashtirib, shunday tenglamani hosil qilamizki, unda bo’ladi.
Agarda va bir vaqtda biror nuqtada nolga teng bo’lsa, bu nuqta atrofida bo’ladi. Bu holda almashtirish natijasida hosil bo’lgan tenglamada bo’ladi.
(1) tenglamada erkli o’zgaruvchilarni ixtiyoriy (qaytariluvchi) almashtiramiz:
.
Birinchi va ikkinchi tartibli hosilalar quyidagicha almashtiriladi:

bularga asosan (1) tenglama

ko’rinishda yoziladi. Bu yerda

almashtirish esa ga teskari almashtirishdir.
(2) xarakterstikalar tenglamasini
(8)
ko’rinishda yozib olamiz, bu yerda . Avvalo tenglama elliptik tipga tegishli bо‘lsin, ya’ni nuqta atrofida , shu bilan birga
Bu holda (8) tenglama haqiqiy yechimlarga ega emas. Shuning uchun

deb belgilab olamiz. Agar (2) tenglamaning chap tomonini orqali belgilasak, bevosita hisoblab,
(9)
bо‘lishiga ishonch hosil qilish qiyin emas. Shunga muvofiq funksiyani ushbu ikkita
(10)
tenglamadan birining yechimi sifatida izlash tabiiydir. Bu tenglamalarda oldidagi koeffitsientlar о‘zaro qо‘shma kompleks miqdorlardan iborat. (10) tenglama ikkita birinchi tartibli
(11)
tenglamalar sistemasiga ekvivalentdir. (11) tenglamalarni Beltrami tenglamalari deb ataladi.
Endi va sifatida Beltrami tenglamalarining yakabiani
(12)
bо‘lgan yechimlarini olamiz. funksiya (2) xarakterstikalar tenglamasining yechimi bо‘lgani uchun (9) tenglik nolga teng bо‘ladi. Bundan darhol bо‘lishi kelib chiqadi. (11) tenglamalardan va ni topib, koeffitsientlarning ifodalariga qо‘ysak,

bо‘lishiga darhol ishonch hosil qilamiz, (29) tenglamaning barcha hadlarini noldan farqli bо‘lgan

ifodaga bо‘lib, (5) tenglamani hosil qilamiz. Endi, nuqta atrofida (1) giperbolik tipga tegishli bо‘lsin, ya’ni funksiyalar esa, mos ravishda
(13)
tenglamalarning (12) shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi bо‘lsin.
Bu holda (13) ga asosan

Agarda yoki bо‘lsa, (13) ga asosan (12) yakobian nolga teng bо‘ladi. funksiyalarning tanlanishiga muvofiq bunday bо‘lishi mumkin emas. Shu sababli nuqta atrofida bо‘ladi. (8) tenglama ga bo’lingandan sung (6¹) ko’rinishga keladi. almashtirish natijasida (6¹) tenglamadan (6) tenglama kelib chiqadi.
Nihoyat , ya’ni nuqta atrofida (1) tenglama parabolik bo’lsin. sifatida
(14)
tenglamaning o’zgarmas sondan farqli bo’lgan yechimini olamiz.
Bu holda bo’ladi. funksiyani shunday tanlab olamizki, bo’lsin. Natijada, (8) dan darhol (7) tenglama hosil bo’ladi.
Yuqorida biz hosil qilgan xususiy hosilali birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar yechimlarining mavjudligi masalasi birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar nazariyasi bilan o’zviy bog’liqdir. Oddiy differensial tenglamalar kursidan ma’lumki, funksiyalar yetarlicha silliq bo’lganda xususiy hosilali chiziqli tenglamalarning (11) sistemasi hamda (13) va (14) chiziqli tenglamalar (1) tenglama berilgan soha nuqtasining kichik atrofida yakobiani noldan farqli bo’lgan yechimlarga egadir.
Shu bilan birga (1) tenglamani nuqta atrofida, ya’ni lokal (5), (6), (6¹) va (7) kanonik ko’rinishlarga keltirish mumkinligi isbotlandi.


Mavzuni mustahkamlash uchun savollar:

1.Ikkinchi tartibli ikki o‘zgaruvchili xususiy hosilali differensial tenglamaning xarakteristik tenglamasi deb nimaga aytiladi.

2. Differensial tenglamaning xarakteristikalari deb nimaga aytiladi.
3. Giperbolik tipdagi tenglamalarning kanonik ko‘rinishi keltirib chiqoring.
4. Elliptik tipdagi tenglamalarning kanonik ko‘rinishi keltirib chiqoring.
5. parabolik tipdagi tenglamalarning kanonik ko‘rinishi keltirib chiqoring.