2. Monte Karlo usulining umumiy sxemasi Monte-Karlo usuli bilan navbat tizimini hisoblash misoli

Monte-Karlo usuli
1. Kirish so'zlari. bitta
2. Umumiy sxema Monte-Karlo usuli. 2018-04-02 121 2
3. Monte-Karlo usuli bilan navbat tizimini hisoblash misoli. 4
Test savollari .. 5
1. Kirish so'zlari
Kompyuterda statistik modellashtirish usuli stoxastik tizimlarning simulyatsiya modellari yordamida natijalarni olishning asosiy usuli hisoblanadi. nazariy asos ehtimollar nazariyasining chegara teoremalari. Monte-Karlo statistik test usuli asosidir.
Monte-Karlo usuli tasodifiy o'zgaruvchilarning taqsimot xususiyatlarini hisoblash uchun ularni modellashtirish usuli sifatida ta'riflanishi mumkin. Odatda, simulyatsiya elektron kompyuterlar (kompyuterlar) yordamida amalga oshiriladi deb taxmin qilinadi, garchi ba'zi hollarda lenta o'lchovi, qalam va qog'oz kabi qurilmalar yordamida muvaffaqiyatga erishish mumkin.
"Monte Karlo usuli" atamasi (1940-yillarda J. fon Neyman tomonidan taklif qilingan) tasodifiy sonlar generatori yordamida jarayonlarni simulyatsiya qilishni anglatadi. Monte-Karlo atamasi (kazinolari bilan keng tanilgan shahar) "yadro bombalari" (kvant mexanikasining integrallari) ni yaratishda murakkab tenglamalarning integrallarini topish uchun "koeffitsientlar soni" (Monte-Karlo simulyatsiya usullari) ishlatilganligidan kelib chiqqan. . Masalan, bir nechta taqsimotlardan tasodifiy sonlarning katta namunalarini yaratish orqali ushbu (murakkab) taqsimotlarning integrallarini (hosil qilingan) ma'lumotlarga yaqinlashtirish mumkin.

Taxminiy hisob-kitoblar sohasida tasodifiy hodisalardan foydalanish g'oyasining paydo bo'lishi odatda 1878 yilga to'g'ri keladi, chunki Xoll parallel chiziqlar bilan tortilgan qog'ozga igna tasodifiy tashlash yordamida p sonlarini aniqlash bo'yicha ish olib borgan. Masalaning mohiyati, ehtimolligi p soni bilan ifodalangan hodisani eksperimental tarzda ko'paytirish va bu ehtimollikni taxminan taxmin qilishdir.

Monte-Karlo uslubidan foydalanilgan maishiy ishlar yillar davomida paydo bo'ldi. Yigirma yil davomida Monte-Karlo uslubi bo'yicha 2000 yildan ortiq nomlarni o'z ichiga olgan keng qamrovli bibliografiya to'plandi. Shu bilan birga, hatto asarlarning sarlavhalarini birdan ko'rib chiqish ham ilm-fan va texnika sohalarining ko'p sonli qismlaridan Monte Karlo usullarini amaliy muammolarni hal qilishda qo'llanilishi to'g'risida xulosa chiqarishga imkon beradi.
Dastlab Monte Karlo usuli asosan neytron fizikasidagi muammolarni hal qilishda ishlatilgan bo'lib, bu erda an'anaviy raqamli usullar juda kam foydalidir. Bundan tashqari, uning ta'siri statistik fizikaning turli xil sinflariga tarqaldi, ularning mazmuni jihatidan juda boshqacha. Monte-Karlo usuli tobora ko'proq qo'llaniladigan fan sohalariga navbat nazariyasi muammolari, o'yin nazariyasi va matematik iqtisodiyot muammolari, interferentsiya mavjudligida xabarlarni etkazish nazariyasi muammolari va boshqalar kiradi.
Monte-Karlo usuli hisoblash matematikasi uslubining rivojlanishiga (masalan, sonli integral usullarini ishlab chiqishga) katta ta'sir ko'rsatdi va ko'rsatmoqda va ko'plab masalalarni echishda u boshqa hisoblash usullari bilan muvaffaqiyatli birlashadi va ularni to'ldiradi. Uning qo'llanilishi, ehtimol, ehtimollik tavsifini tan oladigan muammolarda oqlanadi. Bu ikkala ehtimoliy tarkibga ega bo'lgan masalalarda ma'lum bir ehtimollik bilan javob olishning tabiiyligi va yechim protsedurasini sezilarli darajada soddalashtirish bilan ham izohlanadi. Kompyuterda u yoki bu masalani echish qiyinligi, uni mashina "tiliga" tarjima qilish qiyinligi bilan katta darajada aniqlanadi. Avtomatik dasturlash tillarini yaratish ushbu ish bosqichlaridan birini ancha soddalashtirdi. Shuning uchun hozirgi davrdagi eng qiyin bosqichlar quyidagilardir: o'rganilayotgan hodisaning matematik tavsifi, masalaning zaruriy soddalashtirilishi, mos raqamli usulni tanlash, uning xatosini o'rganish va algoritmni yozish. Muammoning ehtimoliy tavsifi mavjud bo'lgan hollarda, Monte-Karlo usulidan foydalanish ushbu oraliq bosqichlarni sezilarli darajada soddalashtirishi mumkin. Biroq, quyidagilardan kelib chiqadigan bo'lsak, ko'p hollarda Monte-Karlo usulidan yanada ko'proq foydalanish uchun ehtimollik modelini yaratish (asl muammoni tasodifiylashtirish) qat'iy deterministik muammolar uchun ham foydalidir.
2. Monte Karlo usulining umumiy sxemasi
Faraz qilaylik, biz noma'lum m miqdorini hisoblashimiz kerak va biz buni matematik kutish M, \u003d m bo'ladigan tasodifiy o'zgaruvchini hisobga olgan holda amalga oshirmoqchimiz. Berilgan D \u003d b tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi bo'lsin.
N tasodifiy mustaqil o'zgaruvchilar ,, ni ko'rib chiqing, ularning taqsimotlari ko'rib chiqilayotgan tasodifiy variable..gif "width \u003d" 247 "height \u003d" 48 "\u003e
Oxirgi munosabatni quyidagicha yozish mumkin

Olingan formulada t ni hisoblash usuli va ushbu usulning xatosini taxmin qilish mumkin.
Monte-Karlo uslubini qo'llashning mohiyati qaror qabul qilingan vaqtgacha olingan statistik ma'lumotlar asosida natijalarni aniqlashdan iborat.
Masalan. E1 va E2 ba'zi tasodifiy jarayonlarni amalga oshirishning faqat ikkita mumkin bo'lgan jarayoni bo'lsin, va p1 - bu E1 natijasining ehtimoli, va p2 \u003d 1 - p1 - bu E2 natijasining ehtimoli. Ikkala hodisadan qaysi biri, masalan, e1 yoki E2 sodir bo'lishini aniqlash uchun 0 va 1 oralig'ida tasodifiy sonni oling va (0, 1) oralig'ida bir tekis taqsimlang va test o'tkazing. E1 natijasi, agar E2 natijasi - aks holda sodir bo'ladi.
Shunday qilib, Monte-Karlo usuli yordamida olingan natijalarning ishonchliligi tasodifiy sonlar generatorining sifati bilan qat'iy belgilanadi.
Kompyuterda tasodifiy raqamlarni olish uchun, odatda, ba'zi bir operatsiyalarni ko'p marta takrorlashga asoslangan avlod usullari qo'llaniladi. Shu tarzda olingan ketma-ketlik psevdo-tasodifiy sonlarning nomiga mos keladi, chunki hosil bo'lgan ketma-ketlik davriy bo'lib, ma'lum bir vaqtdan boshlab raqamlar takrorlana boshlaydi. Bu kompyuter kodida faqat sonli sonli turli sonlarni yozish mumkinligidan kelib chiqadi. Shuning uchun, oxir-oqibat, hosil bo'lgan $ 1 $ sonlaridan biri $ L $ ketma-ketligining oldingi a'zolaridan biriga to'g'ri keladi. Va avlod shakl formulasi bo'yicha amalga oshirilganligi sababli

dk + 1 \u003d F (dk k),

shu paytdan boshlab ketma-ketlikning qolgan qismi takrorlanadi.
Bir tekis taqsimlangan tasodifiy sonlardan foydalanish Monte-Karlo simulyatsiyasining asosini tashkil etadi. Monte-Karlo usuli yordamida ma'lum bir tasodifiy miqdor aniqlangan bo'lsa, demak, uni hisoblash uchun bir tekis taqsimlangan tasodifiy sonlar ketma-ketligi ishlatilgan.
Bir xil taqsimlangan tasodifiy sonlar 0 dan 1 gacha va tarqatish funktsiyasiga ko'ra tasodifiy tanlanadi
F (x) \u003d Pr (X< х} = х, .
Ushbu taqsimot bilan (0, 1) oralig'ida tasodifiy o'zgaruvchining har qanday qiymatlari paydo bo'lishi teng darajada maqbuldir. Bu erda Pg (X< х} - вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше х.
Tasodifiy sonlarni olishning asosiy usuli bu ularni modul hosil qilishdir. M, a, c, x0 m\u003e x0 va a, c, x0\u003e 0 bo'ladigan butun sonlar bo'lsin. (Xi) ketma-ketlikdan xi psevdo-tasodifiy son takrorlanish munosabati yordamida olinadi.
xi \u003d a xi-1 + c (mod m).
Yaratilgan raqamlarning stoxastik xususiyatlari qat'iy ravishda m, a va c ni tanlashga bog'liq. Ularning yomon tanlovi Monte-Karlo usuli bilan simulyatsiya qilinganida noto'g'ri natijalarga olib keladi.
Raqamli simulyatsiya ko'pincha ko'p sonli tasodifiy sonlarni talab qiladi. Shuning uchun hosil bo'lgan tasodifiy sonlar ketma-ketligi davri, undan keyin ketma-ketlik takrorlana boshlaydi, etarlicha katta bo'lishi kerak. U modellashtirish uchun zarur bo'lgan tasodifiy sonlar sonidan sezilarli darajada katta bo'lishi kerak, aks holda olingan natijalar buziladi.
Ko'pgina kompyuterlar va dasturiy ta'minot qobig'ida tasodifiy raqamlar generatori mavjud. Biroq, aksariyat statistik testlar natijada paydo bo'lgan tasodifiy sonlar o'rtasidagi o'zaro bog'liqlikni ko'rsatadi.
Har bir generatorni tekshirishingiz kerak bo'lgan tezkor sinov mavjud. To'liq d o'lchovli panjarani to'ldirish orqali (masalan, ikki yoki uch o'lchovli) tasodifiy sonlar generatorining sifatini ko'rsatish mumkin. Yaxshi generator giperkubaning butun maydonini to'ldirishi kerak.
N tasodifiy xi xi taqsimotining bir xilligini tekshirishning yana bir taxminiy usuli bu ularning matematik kutilishini va dispersiyasini hisoblashdir. Ushbu mezonga ko'ra, bir xil taqsimlash uchun shartlar bajarilishi kerak
Ketma-ketlikning tasodifiyligini tekshirish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ko'plab statistik testlar mavjud. Eng aniq spektral mezondir. Masalan, KS-mezon yoki Kolmogorov-Smirnov mezonlari deb nomlangan juda keng tarqalgan mezon. Tasdiqlash shuni ko'rsatadiki, masalan, Excel elektron jadvallaridagi tasodifiy sonlar generatori ushbu mezonga javob bermaydi.
Amalda, asosiy muammo - bu oddiy va ishonchli tasodifiy sonlar generatorini yaratishdir, ulardan siz o'zingizning dasturlaringizda foydalanishingiz mumkin. Buning uchun quyidagi protsedura taklif etiladi.
Dasturning boshida X butun o'zgaruvchisiga X0 qiymati beriladi. Keyin qoida bo'yicha tasodifiy raqamlar hosil bo'ladi
X \u003d (aX + c) mod m. (bitta)
Parametrlarni tanlash quyidagi asosiy printsiplardan foydalangan holda amalga oshirilishi kerak.
1. X0 boshlang'ich raqami o'zboshimchalik bilan tanlanishi mumkin. Agar dastur bir necha marta ishlatilsa va har safar sizga har xil tasodifiy sonlar manbai kerak bo'lsa, masalan, oldingi ishda oxirgi marta olingan X qiymatiga X0 belgilashingiz mumkin.
2. m raqami katta bo'lishi kerak, masalan, 230 (hosil bo'lgan psevdo-tasodifiy ketma-ketlik davrini shu raqam belgilaydi).
3. Agar m ikkita kuch bo'lsa, shuni tanlang amod8 \u003d 5. Agar m o'nning kuchi bo'lsa, shunday qilib tanlang amod10 \u003d 21. Ushbu tanlov tasodifiy sonlar generatorini takrorlashni boshlashdan oldin barcha mumkin bo'lgan m qiymatlarni hosil qilishini ta'minlaydi.
4. Ko'paytiruvchi va 0.01m dan 0.99m gacha tanlash afzalroq, va uning ikkilik yoki o'nlik raqamlari oddiy muntazam tuzilishga ega bo'lmasligi kerak. Multiplikator spektral mezondan va tarjixon yana bir nechta mezonlardan o'tishi kerak.
5. Agar a yaxshi omil, $ c $ qiymati muhim emas, faqat $ m $ kompyuter so'zining kattaligi bo'lsa $ c $ bilan umumiy omil bo'lmasligi kerak. Siz, masalan, c \u003d 1 yoki c \u003d a ni tanlashingiz mumkin.
6. Siz m / 1000 dan ortiq bo'lmagan tasodifiy sonlarni yaratishingiz mumkin. Shundan so'ng, yangi sxemadan foydalanish kerak, masalan, yangi multiplikator va.
Ro'yxatdagi qoidalar asosan mashinasozlik dasturlash tili bilan bog'liq. Yuqori darajadagi dasturlash tili uchun, masalan, C ++ uchun yana bir variant ishlatiladi (1): eng katta osonlik bilan hisoblanadigan butun songa yaqin bo'lgan m asosiy son tanlangan, a qiymati ibtidoiyga teng deb qabul qilingan m va c ning ildizi olinadi nolga teng... Masalan, siz qabul qilishingiz mumkin a \u003d 48271 va t \u003d
3. Monte-Karlo usuli bilan navbat tizimini hisoblash misoli
Oddiy navbat tizimini (QS) ko'rib chiqing, u n qatordan iborat (boshqacha kanallar yoki xizmat ko'rsatish punktlari deb nomlanadi). Tasodifiy vaqtlarda tizim dasturlarni qabul qiladi. Har bir da'vo 1-qatorga keladi. Agar Tk da'vo arizasi kelib tushganida ushbu satr bepul bo'lsa, da'vo t3 (xizmatning band vaqti) vaqtida xizmat qiladi. Agar chiziq band bo'lsa, so'rov darhol 2-qatorga uzatiladi va hokazo. Agar hozirda barcha n satrlar band bo'lsa, tizim rad javobini beradi.
Tabiiy muammo bu ma'lum bir tizimning xususiyatlarini aniqlash, uning samaradorligini baholash uchun ishlatilishi mumkin: xizmatni kutishning o'rtacha vaqti, tizimning ishlamay qolishi nisbati, navbatning o'rtacha davomiyligi va boshqalar.
Bunday tizimlar uchun Monte Karlo usuli amalda yagona hisoblash usuli hisoblanadi.
https://pandia.ru/text/78/241/images/image013_34.gif "width \u003d" 373 "height \u003d" 257 "\u003e
Kompyuterda tasodifiy sonlarni olish uchun algoritmlardan foydalaniladi, shuning uchun mohiyatan deterministik bo'lgan bunday ketma-ketliklar psevdo-tasodifiy deb nomlanadi. Kompyuter n-bitli raqamlar bilan ishlaydi, shuning uchun kompyuterda (0,1) oralig'idagi bir xil tasodifiy sonlarning uzluksiz yig'ilishi o'rniga, xuddi shu intervaldagi 2n tasodifiy sonlarning diskret ketma-ketligi ishlatiladi. bunday diskret ketma-ketlikning kvazitari taqsimlanishi deyiladi.
Ideal tasodifiy raqamlar generatoriga qo'yiladigan talablar:
1. Ketma-ketlik bir tekis taqsimlangan raqamlardan iborat bo'lishi kerak.
2. Raqamlar mustaqil bo'lishi kerak.
3. Tasodifiy sonlar ketma-ketligi takrorlanadigan bo'lishi kerak.
4. Tartiblar takrorlanmaydigan raqamlarga ega bo'lishi kerak.
5. Minimal hisoblash resurslari bilan ketma-ketlikni olish kerak.
Psevdo-tasodifiy sonlar ketma-ketligini yaratish uchun kompyuter simulyatsiyasi amaliyotidagi eng katta dastur quyidagi shakl algoritmlarida uchraydi:
birinchi darajali takrorlanish munosabatlari.
Masalan. x0 \u003d 0.2152, (x0) 2 \u003d 0, x1 \u003d 0.6311, (x1) 2 \u003d 0, x2 \u003d 0.8287 va boshqalar.
Bunday usullarning nochorligi ketma-ketlik raqamlari o'rtasidagi o'zaro bog'liqlikning mavjudligi va ba'zida tasodifiylik umuman bo'lmaydi, masalan:
x0 \u003d 0.4500, (x0) 2 \u003d 0, x1 \u003d 0.2500, (x1) 2 \u003d 0, x2 \u003d 0.2500 va boshqalar.
Psevdo-tasodifiy ketma-ketlikni yaratish bo'yicha kelishilgan protseduralar keng qo'llaniladi.
Ikkita a va b sonlar mos keladigan (taqqoslanadigan) modul m, bu erda m butun son bo'lib, agar u faqat a-b \u003d km bo'ladigan k butun son bo'lsa.
1984º4 (mod 10), 5008º8 (mod 103).
Tasodifiy sonlarni ishlab chiqarishning aksariyat protseduralari quyidagi formulaga asoslangan:
manfiy bo'lmagan tamsayılar qaerda.
(Xi) ketma-ketlikning butun sonlarini hisobga olsak, biz (xi) \u003d (Xi / M) ketma-ketlikni qurishimiz mumkin ratsional sonlar birlik oralig'idan (0,1).
Amaldagi tasodifiy raqamlar generatorlari modellashtirishdan oldin hosil bo'lgan tasodifiy sonlarning ketma-ketligi bir xilligi, stoxastikligi va mustaqilligi uchun to'liq dastlabki sinovlardan o'tishlari kerak.
Tasodifiy sonlar ketma-ketligini sifatini oshirish usullari:
1. r tartibining takrorlanadigan formulalaridan foydalanib:
Ammo bu usuldan foydalanish raqamlarni olish uchun hisoblash resurslari narxining oshishiga olib keladi.
2. Perturbatsiya usuli:
.
5. Tizimlarga tasodifiy ta'sirlarni simulyatsiya qilish
1. Berilgan p ehtimollik bilan yuzaga keladigan A tasodifiy hodisani amalga oshirish kerak. A ni (0,1) oralig'ida bir tekis taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining tanlangan xi qiymati tengsizlikni qondirishidan iborat bo'lgan voqea sifatida belgilaymiz:
Shunda A hodisasining ehtimoli https://pandia.ru/text/78/241/images/image019_31.gif "width \u003d" 103 "height \u003d" 25 "\u003e bo'ladi,
Sinov simulyatsiyasi protsedurasi bu holda xi tasodifiy sonlarini lr qiymatlari bilan ketma-ket taqqoslashdan iborat. Agar shart bajarilsa, sinov natijasi Am hodisasidir.
3. A va B mustaqil hodisalarni pA va pB yuzaga kelish ehtimoli bilan ko'rib chiqing. Bu holda qo'shma sinovlarning mumkin bo'lgan natijalari pAPB, (1-pA) pB, pA (1-pB), (1-pA) (1-pB) ehtimolliklar bilan AB hodisalari bo'ladi. Birgalikda testlarni taqlid qilish uchun protseduraning ikkita variantidan foydalanish mumkin:
1-bandda tasvirlangan protsedurani ketma-ket bajarish.
AB natijalaridan birini tegishli ehtimollar bilan qur'a tashlash yo'li bilan aniqlash, ya'ni 2-bandda ko'rib chiqilgan protsedura.
Birinchi variant uchun ikkita xi raqami va ikkita taqqoslash kerak bo'ladi. Ikkinchi variantda siz bitta xi raqami bilan olishingiz mumkin, ammo ko'proq taqqoslash talab qilinishi mumkin. Modellashtirish algoritmini tuzish va operatsiyalar sonini va kompyuter xotirasini tejash qulayligi nuqtai nazaridan birinchi variant afzalroqdir.
4. A va B hodisalar bog'liq va pA va pB ehtimolliklar bilan sodir bo'ladi. Keling, A hodisasi sodir bo'lgan taqdirda, voqea sodir bo'lishining shartli ehtimolligini pA (B) bilan belgilaylik.
Monte-Karlo usuli (Monte Carlo usullari, MCM) - bu uning ehtimoliy xarakteristikalari o'xshash qiymatlarga to'g'ri keladigan tarzda hosil bo'lgan stoxastik (tasodifiy) jarayonni ko'p sonli amalga oshirishga asoslangan sonli usullar guruhining umumiy nomi. hal qilinayotgan muammoning.
Ko'pgina tizimlar noaniqlik ta'sirini analitik usullar yordamida tekshirish uchun juda murakkab. Ammo, kerakli ma'lumotlarni aniqlik bilan natija olish uchun ko'p sonli N (takrorlash) hisob-kitoblarini takrorlab, kiritilgan ma'lumotlarni tasodifiy o'zgaruvchilar shaklida ko'rib chiqsak, bunday tizimlarni tekshirish mumkin.
Usulni analitik usullar yordamida tushunish va hal qilish qiyin bo'lgan murakkab vaziyatlarda qo'llash mumkin. Tizim modellari jadvallar va boshqa an'anaviy usullar yordamida ishlab chiqilishi mumkin. Shu bilan birga, yuqori talablarga javob beradigan zamonaviy dasturiy vositalar ham mavjud, ularning aksariyati nisbatan arzon. Agar model birinchi marta ishlab chiqilgan va qo'llanilayotgan bo'lsa, Monte-Karlo usuli uchun zarur bo'lgan takrorlanishlar soni natijalarni juda sekin va mashaqqatli qilishi mumkin. Biroq, kompyuter texnologiyalarining zamonaviy yutuqlari va lotin giperkubasi printsipi asosida ma'lumotlar yaratish protseduralarining rivojlanishi ko'p hollarda ishlov berish vaqtini ahamiyatsiz qiladi.
Dastur maydoni
Monte-Karlo usuli - bu keng ko'lamli vaziyatlarda tizim parametrlarini baholashda noaniqlik ta'sirini baholash usuli. Ushbu usul odatda natijalar oralig'ini va ushbu diapazondagi qiymatlarning nisbiy chastotasini baholash, narx, davomiylik, hosildorlik, talab va hokazo kabi miqdoriy miqdorlarni baholash uchun ishlatiladi. Monte-Karlo simulyatsiyalari ikki xil maqsadda ishlatilishi mumkin:
an'anaviy analitik modellar uchun noaniqlikni o'zgartirish;
analitik usullardan foydalanib bo'lmaydigan bo'lsa, ehtimolliklarni hisoblash.
Monte-Karlo usuli moliyaviy prognozlarning noaniqligini, investitsiya loyihalarining natijalarini, loyihaning qiymati va jadvalini, biznes-jarayonlarning buzilishini va kadrlarni almashtirishni bashorat qilishda ishlatilishi mumkin.
Ushbu usul natijalarni analitik usullar bilan olish mumkin bo'lmagan yoki kirish yoki chiqish ma'lumotlarida yuqori noaniqlik mavjud bo'lgan hollarda qo'llaniladi.
Ma'lumotlarni kiritish
Monte-Karlo modellashtirish uchun kirish ma'lumotlari rivojlangan tizim modeli, kirish ma'lumotlarining turi, noaniqlik manbalari va kerakli natijalar to'g'risidagi ma'lumotlar. Kirish ma'lumotlari va tegishli noaniqlik, tegishli taqsimotlarga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchilar shaklida ko'rib chiqiladi. Ushbu maqsadlar uchun ko'pincha bir xil, uchburchak, normal va lognormal taqsimotlardan foydalaniladi.
Xulosa:

Monte-Karlo uslubining tug'ilgan sanasi 1949 yil deb hisoblanadi, unda "Monte-Karlo usuli" nomli maqola paydo bo'ldi (N. Metropolis, S. Ulam). Amerikalik matematiklar J. Neumann va S. Ulam ushbu uslubning yaratuvchilari hisoblanadi. Mamlakatimizda dastlabki maqolalar 1955–56 yillarda nashr etilgan. (V.V. Chavchanidze, Yu.A. Shrayder, V.S. Vladimirov)

Foydalanilgan adabiyotlar:

1. AL va KHK lari uchun “biologiya” darsligi.

2.Баратов П. Табиатни муҳофаза қилиш. Тошкент, «Ўқитувчи», 1991.
3.Бекназов Р.У., Ю.В. Новиков. Охрана природы Т.”Ўқитувчи” 1995.
4. Internet ma’lumotlari
www.ebi.ac.uk/embl
www.ddbj.nig.ac.jp 
www. Ilm.uz
www.ziyo.uz