2-Tema. Elektronlardıń ideal kristalda energiya zonaları. (Shredinger teńlemesin periodlı elektr maydanında xarakterleytuǵun elektron ushın sheshiw). Metallar, yarim o’tkizgishler, dielektrikler

2-Tema. Elektronlardıń ideal kristalda energiya zonaları. (Shredinger teńlemesin periodlı elektr maydanında xarakterleytuǵun elektron ushın sheshiw). Metallar, yarim o’tkizgishler, dielektrikler.

Ha’r qanday qatti` dene ju’da’ ko’p atomlardan quralg’an boladi`. Atomlardi`n’ yadrolari` ideal kristalda ta’rtipli reshetka (tor) payda etedi. Neytral kristalda yadrolardi`n’ «on’» zaryadi` barli`q «teris» elektronlardi`n’ zaryadi`na ten’ boladi`.

YAdrog’a jaqi`n elektronlar ku’shli baylani`sqan boladi`. Atom yadrosi`nan a’dewir uzaq jaylasqan elektronlar a’zzi baylani`sqanli`g’i` sebepli, qatti` denenin’ ishinde qozg’ali`sqa kelip elektr tog’i`n payda etedi. Biraq elektron o’z ha’reketi dawami`nda kristalda basqa elektronlar menen ushi`rasadi`. Bunday jag’dayda bir elektronli` ma’sele emes, al ko’p elektronli` ma’seleni sheshiwge tuwra keledi. Soni`n’ ushi`n kristaldag’i` ko’p sandag’i` yadro atomi` ha’m elektronni`n’ birgeliktegi statsionar awhali`n ha’m energetikali`q spektrin ani`qlaw ushi`n SHredinger ten’lemesin sheshiwge tuwra keledi.

(1.1)

bul jerde: -kristaldi`n’ gamiltoniani`

-soni`n’ tolqi`n funktsiyasi`

- kristaldi`n’ energiyasi`.

Kristaldi`n’ tolqi`n funktsiyasi` barli`q elektronlardi`n’ koordinatasi` ha’m barli`q atomni`n’ yadrosi`ni`n’ koordinatasi` baylani`sli`.

Gamilton operatori` o’z ishine to’mendegilerdi aladi`:

1) Elektrolardi`n’ kinetikali`q energiya operatori`n

,

bul jerde - Plank turaqli`si`

­,

- elektron massasi`

- elektronni`n’ Laplas operatori`

2) YAdroni`n’ kinetikali`q energiyasi`ni`n’ operatori`

, bul jerde -yadro massa;

;

3) Elektronni`n’ jup-juptan o’z-ara ta’sirinin’ potentsial energiyasi`.

4) YAdroni`n’ jup-juptan o’z-ara ta’sirinin’ potentsial energiyasi`.

5) Elektronni`n’ yadro menen o’z-ara ta’siri potentsial energiyasi`

Usi` joqardag’i` qurawshi`lardi` esapqa alg’ani`mi`zda SHredinger ten’lemesindegi gamiltoni`n to’mendegi ko’riniske iye boladi`.

(2.2)

Bul ma’sele ha’zirgi waqi`tta uli`wma ko’riniste sheshimge iye emes. Soni`n’ ushi`n bul ten’lemenin’ dara jag’dayi`n sheshemiz.

2.2 Adiabatikali`q jaqi`nlasi`w ha’m valentli approksimatsiya

Barli`q sistemani` jen’il (elektronlar) ha’m awi`r (atomni`n’ yadrosi`) bo’lekshelerge bo’lemiz.

Ten’salmaqli` jag’dayda bul bo’lekshelerdin’ ortasha kinetikali`q energiyasi` birdey ma’niste boladi`. YAdroni`n’ massasi` elektronni`n’ massasi`nan a’dewir u’lken bolg’anli`g’i` sebepli , elektronni`n’ tezligi yadroni`n’ tezliginen sezilerli da’rejede yag’ni`y eki barabar u’lken.

Bunday jag’day ushi`n en’ qopal jaqi`nlasi`wdi` yag’ni`y yadro pokoyatsya. YAdro koordinatalari` o’zgermes, al parametrler kristall tordi`n’ buwi`ni`ndag’i` koordinatalar.

Ten’ salmaqli` hallarg’a umti`li`wshi` yadro ushi`n kinetikali`q energiyasi` 0 ge aylanadi` al olardi`n’ o’z-ara ta’sir energiyasi` turaqli` ma’niske iye boladi`. Bunday jag’day ushi`n (2.2) ten’leme a’piwayi`lasi`p elektronni`n’ pokoyashixsya yader maydani`ndag’i` jag’daydi` su’wretleydi. Usi` jag’day ushi`n SHredenger ten’lemesi to’mendegishe jazi`ladi`.

(2.3)

(2.3) formulada uli`wma sheshimge iye emes.

2.3 Bir elektronli` jaqi`nlasi`w

Ko’p elektronli` ma’sele sheshiwdi en’ ko’p qollani`li`p ju’rgen metodlardan Xartri- Foka metodi`. Bul metod ko’p elektronli` ma’seleni bir elektronli`g’a ali`p keliw. Bul ideyani`n’ tiykari`nda jup- juptan elektronni`n’ o’z – ara ta’siri ha’r-bir elektronni`n’ basqa elektronlardi`n’ ortasha maydan menen ta’siri almasti`ri`ladi`. An’satli`q ushi`n degi elektronni`n’ potentsial energiyasi` sol maydandag’i` bolsi`n. Bunnan ko’rip turg’ani`mi`zday maydan sol elektronni`n’ ha’reketi basqa elektronlardi`n’ ha’reketinede ta’sir jasaydi`. Soni`n’ ushi`n bul protsess o’z-ara kelisilgen dep ataladi`.

Bunday o’z-ara kelisilgen maydan tu’siniginin’ kirgiziliwi (2.3) formulasi`ndag’i` ma’nisti almasti`ri`p jazami`z. (2.4)

Bul jerde ta’rtiptegi elektronni`n’ potentsial energiyasi` basqa elektronlardi`n’ maydani`ndag’i` usi`nday almasti`ri`wlar potentsial energiya elektronni`n’ yadro menen o’z-ara ta’sirin to’mendegishe jazi`wi`mi`zg’a boladi`.

(2.5)

Bul jerde elektronni`n’ barli`q yadro maydani`ndag’i` potentsial energiyasi`.(2.4) ha’m (2.5) ten’lemelerin esapqa ali`p tu’rlendiretug’i`n bolsaq

(2.6)

Bul ten’lemeni to’mendegishe ko’riniste jazi`wg’a boladi`.

(2.7)

bul jerde elektronni`n’ gamiltoniani`.

(2.8)

(2.7) ten’lemesin ko’rip turg’ani`mi`zday gamiltonian (2.8) degi gamiltonianni`n’ qosi`ndi`lari`nan ibarat. Bul jag’day ushi`n bo’lekshe sistemasi`ni`n’ tolqi`n funktsiyasi` ha’r-bir bo’liwshini- o’z aldi`na tuwri` keletug’i`n jag’daydi` su’wretleydi.

(2.9)

Bul degen so’z, elektronlar bir- birin baylani`ssi`z xa’reket ete baslaydi`, al bo’lekshe sistemasi`ni`n’ toli`q energiyasi` ha’r-bir elektronni`n’ energiyasi`ni`n summasi`na ten’.

(2.10)

Solay etip o’z-ara kelisilgen maydan tu’sinigin kirgiziw arqali` kristalldag’i` elektronlardi` bir-biri menen o’z-ara ta’sir etispeytug’i`n bo’lekshe si`pati`nda qarawg’a boli`di`. -dan basqa barli`q tolqi`n funktsiyasi`ni`n’ ko’beymesi si`pati`nda belgileymiz. Onday jag’dayda

(2.11)

operatori` tek tolqi`n funktsiyasi`na ta’sirin esapqa ali`p(2.7), (2.9), (2.11) tiykari`nda

(2.12)

(2.12) eki ta’repin bo’lip ha’m (2.10) ten’lemesin esapqa ali`p to’mendegige iye bolami`z.

(2.13)

ten’lemenin’ shep ta’repindegi ha’r bir ag’za 1 elektronni`n’ koordinatasi`na baylani`sli`, soni`n’ ushi`n bul ten’leme bir elektronli` ten’lemege ekvivalent bola aladi`.

(2.14)

Solay etip, o’z-ara kelisilgen maydandi` kirgiziw ko’p bo’leksheli ma’seleni bir elektronli` ma’selege keltiredi.

(2.15)

bul jerde -Gamiltonian, tolqi`n funktsiyasi` ha’m elektronni`n’ kristaldag’i` energiyasi. Eger kristaldag’i` elektron ushi`n V(g) funktsiya arqali` potentsial energiyani` belgilesek, onda

(2.16)

Usi` jag’day ushi`n SHredenger ten’lemesi to’mendegi ko’riniste aladi`.

(2.17)