2. Tenglama va tengsizliklarning teng kuchliligi

Kurs ishining ob’yekti. Algebraik tenglamalarni yechish va yechish usullarini o’rganishdan iborat.
Kurs ishi hajmi: 29 betdan iborat bo’lib, kirish, asosiyqism, xulosa qismi va foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat.

Asosiy qism
1. Algebraik tenglamalar haqida tushuncha
XVI-XVII asrlarda algebra matematikaning maxsus bir qismi sifatida o’zining predmeti metodi, qo’lanilish sohasiga ega bo’ldi. Kelgusidagi taraqiyoti esa uning metodining mukamallashuvi, qo’llanilish sohasining kengayishi, tushunchalarini aniqlash va matematikaning boshqa sohalari tushunchalari bilan bog’lanishi ustida bordi. SHu davr ichida algebraik tushuunchalar ichida tenglama tushunchasining muhimligi yaqqolroq sezila borildi. Koordinatalar metodining (Dekart XVIII asr) yaratilishi, analitik geometriyaning rivojlanishi algebrada faqat sonlar sistemasiga bog’liq bolgan masalardan tashqari, turli xil geometrik figuralarning xossalarini o’rgaanishiga ham imkon yaratdi.
Bunday imkoniyaatlar algebrada tenglamalarni asosiy tushuncha sifatida uchta muhim yo’nalish bo’yicha o’rnini mustahkamladi:

4. 
   Tenglama – matnli masalarni yechishdagi muhim vosita ekanligi ,
   
5. 
   Tenglama – algebraik obyektlarni o’rganadigan maxsus formula sifatida,
   
6. 
   Tenglama – tekislikdagi (fazodagi) nuqtalarning koordinatalari qiymatini aniqlovhi maxsus formula sifatida.
   

Bu har bir yo’nalishning o’ziga xos ijobiy tomoni mavjud. Demak. Tenglama umummatematik tushuncha bo’lib ko’p yo’nalishlidir. Bu yo’nalishlarni birortasini ayniqsa maktab matematikasida etiborda chiqarib bo’lmaydi.
Endi tenglama tusshunchalarini shakllantirishga to’xtalib o’taylik. biror to’plamidagi elementni harfi bilan belgilaylik. shu to’plamdagi boshqa elementga mos kelmasin. Agar elementning nomi (ismi) bo’lsa, uni deyish mumkin. SHu elementni boshqa nom biror deb atashimiz mumkin. ham dagi boshqa biror elementga mos kelmaydi. Agar va yagona bir elementni ifodalasa, u holda bu elementlar mos keladi yoki ayniy deyilib, ko’rinishda yoziladi. Ayniy elementlarni ko’pincha teng elementlar ham deyilib, bunday munday munasabatni ko’rinishda yoziladi. Misol uchun, aniqlanish sohasidagi argumentli funktsiyalar to’plamida tenglik munosabati quydagicha aniqlanishi mumkin.
Agar nuqtada va funksiyalarning qiymatlari teng bo’lsa, bunda va funksiyalar teng deyiladi. Bu yerda va lar funksiyalar har xil ko’rinishdagi idolalari bo’lib kelgan. Matematikada tenglik tushunchasiga umumiyroq yondashadilar : ikki va analitik ishorasi bilan bog’lansa, tenglikni hosil qiladi.
tenglikning bunday ta’rifi, ayniqsa tenglama tushunchasini bayon qilishda munozaralarga sabab bo’ladi. munozara yurituvchilarning har xil qatnashchilari, ifodalarda tenglik munosabati bo’lmasa (mazmuniga ko’ra ma’nosida), uholda munosabatini to’g’ri bo’lmagan tenglik deb atashni, ikkinchi xil munozara yurituvchilar esa bunday nuqtai nazarni noo’rin, to’g’ri bo’lmagan tenglik bo’lmaydi deb hisoblaydilar.
Yuzaga kelgan bunday anglashilmovchilikni matematik nuqtai nazari bo’yicha hal qilish mumkin. Agar va sonli ifodalar bo’lsa, munosabat jumlaning simvolik yozuvi sifatida qaraladi: ifodaning qiymati ifodaning qiymatiga teng bo’ladi. jumla chin yoki yolg’on bo’lishi mumkin. Agar jumla yolg’on bo’lsa, u holda munosabat to’g’ri bo’lmagan tenglik deyiladi. Agar ifoda yoki ifoda (yoki ikkalasi) o’zgaruvchilardan iborat bo’lsa, u holda munosabat jumla bo’lmaydi, bunday holda uni predikat dyiladi. va ifodalardagi o’zgaruvchilar o’rniga qiymatlarini qo’ymaguncha uning chimligi to’g’risida gapira olmaymiz. Masalan, ifodaning qiymatiga teng “ jumlasini ifodalovchi predikatga qiymatda chin, da yolg’on jumlaga aylanadi. Tenglama tushunchasining har xil ta’riflarida oshkor yoki oshkor bo’lmagan holda va funksiyalarning argumentlarning qiymatlari sistemasida va funksiyalarning qiymatlarining tengligi izlanadi.
Agar biror to’plamning va elementlari tenglik munosabatida bo’lmasa ( va nomlar turlicha predikatlar) ular tengsizlik munosabatida bo’ladilar deyiladi. Bu munosabat ko’rinishida yoziladi. Haqiqiy sonlarda “kichik” munosabati mavjud. Bu munosabatdan foydalanib quydagi ta’riflarni kirita olamiz : va haqiqiy sonlarni ayirmasi manfiy bo’lsa, u holda soni sondan “kichik” deyiladi, va ko’rinishida yoziladi. Agar bo’lsa, u holda soni dan “katta ” deyiladi va ko’rinishda yoziladi.
Haqiqiy sonlar to’plamida “katt emas”, “kichik emas” munosabatlar ham mavjud.
Agar soni manfiy yoki nolga teng bo’lsa (ya’ni munosabat bo’lmaganda), u holda soni dan katta emas deyiladi va ko’rinishda yoziladi. munosabatlari umumiy holda tengsizlik deb yuritiladi. va va tengsizliklari qarama-qarshi ma’nodagi tengsizliklar, va , va tengsizliklar bir hil ma’noli munosabatlar deyiladi.
Tenglamalar va tengsizliklar tushunchalari yordamida borliqning o’zaro bog’lanish qonuniyatlarini o’rganish mumkin, bu esa o’quvchilarda ma’lum darajada qiziqish o’rgatadi. Faqat bugina emas tenglama va tengsizliklarning har bir mavzusini o’rganishda o’quvchilarning nazariy bilimlarini mustahkamlash chuqurlashtirish, takrorlash va kengaytirish, natijda esa ularning matematik faoliyatlarini ijodiy rivojlantirish imkoni yuzaga keladi.
Matematikaning turli bo’limlariga oid masalalarini tenglama va tengsizlik yordamida yechish arifmetika, algebra, geometriyaning yagona matematika fanining turli ko’rinishlardagi ifodalari ekanligini anglashga yordam beradi. Ishlab chiqarish, xalq xo’jaligiga predmetlararo masalalarni tenglama va tengsizliklar yordamida yechish politexnik ta’limni amalga oshirishga matematika o’qitishni kundalik hayot bilan bog’lashga, o’qituvchilarni kasbga to’g’ri yo’naltirishga yordam beradi. SHu sababdan ham o’rta maktabda tenglama va tengsizliklarni o’rganish muhim o’rinni egallaydi.
Matematiklarning va metodistlarning tenglama tushunchasini yoritish yuzasidan turli qarashlari mavjud. Ko’pchilik hollarda tenglama masalaning analitik ko’rinishi sifatida ifodalanib, o’zgarishlarning shunday qiymatlar to’plami izlanadiki, bunda tenglamaning chap va o’ng tomonidagi ifodalar teng qiymatlarni qabul qiladi. Bunday yondashish tenglama tushunchasidan foydalanishni birmuncha chegaralab qo’yadi. “Tenglama” termini ko’pincha masalani yechimiga etibor qilmay ham ishlatamiz. Masalan, “urinmaning tenglamasi” “nuqta harakatining tenglamasi” va hokazo.
O’rta maktabda IV-sinf matematika darsligida ishlatilgan ta’rifdan foydalanish qulay. Tenglama noma’lumli tenglikdir. Tenglamaga misol qilib, ifodalarni ko’rsatish mumkin. Tenglama va tengsizliklarga o’zgaruvchili jumlalarning xususiy bir ko’rinishi sifatida qarashimiz mumkin. Bu fikrni batafsil qarab o’taylik. . Bu tenglama va tengsizliklarning chap va o’ng tomoni sonli ifodalardan iborat bo’lgani uchun ma’noga ega. Bularning har birini chin yoki yolg’onligi haqida gapirish mumkin. SHu sababdan chap va o’ng tomoni sonli tenglik va tengsizliklardan iborat bo’lgan ifoda ma’noga ega bo’lsa, jumla sifatida qarash mumkin.
o’zgaruvchili tenglama va tengsizliklar jumla bo’lmaydi. Agar o’zgaruvchili tenglama (tengsizlik) da o’zgaruvchi o’rniga shunday qiymat qo’yilsaki, unda tenglama (tengsizlik) ning ikkala qismi ham ma’noga ega bo’lsa, u holda chin yoki sonli tenglik (tengsizlik) hosil bo’ladi. Bu yerda o’zgaruvchilar o’rniga qiymatlar qo’yish to’g’risida bormoqda. Demak, har bir tenglama yoki tengsizlikdagi o’zgaruvchilar o’rniga ma’lum qiymatlarni qo’yganda chin yoki yolg’on jumlalar hosil bo’ladi.
Bir o’zgaruvchili tenglama (tengsizlik) ni yechimi deb uni to’g’ri sonli tenglikka (tengsizlikka) aylantiradgan o’zgaruvchining qiymatiga aytiladi. Bir o’zgaruvchili tenglamaning yechimini uning ildizi deyiladi. Bir necha o’zgaruvchili tenglamalarni (tengsizliklarni) yechish ham shunga o’xshash amalga oshiriladi. Tenglama (tengsizlik) ni yechish uni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarini topish demakdir.