20-Ma’ruza Moddiy nuqtaning ishqalanish ta’siridagi majburiy tebranishlari

20-Ma’ruza
Moddiy nuqtaning ishqalanish ta’siridagi majburiy tebranishlari
Moddiy nuqta tiklovchi kuch, garmonik qonun bilan o’zgaruvchi uyg’o’tuvchi kuch va nuqta tezligiga proporsional bo’lgan qarshilik kuchi ta’sirida harakatlansin. Koordinatalar boshini nuqtaning statik muvozanat holatida joylashtirib, o’qini nuqta trayektoriyasi bo’ylab yo’naltiramiz (32-shakl).
Nuqtaga ta’sir etuvchi kuchlarning o’qidagi proyeksiyalari
. (13.10.1)
ko’rinishda bo’ladi. Moddiy nuqtaning harakat differensial tenglamasi quyidagicha bo’ladi:
,
yoki
, (13.10.2)
bu yerda

(13.10.2) tenglama nuqtaning qarshilik ko’rsatuvchi muhitdagi majburiy tebranma harakat differensial tenglamasini ifodalaydi. (13.10.2) tenglamaning umumiy yechimini

ko’rinishda axtaramiz. - (13.10.2) ga mos bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi, ya’ni
(13.10.3)
- (13.10.2) tenglamaning birorta xususiy yechimi, uni quyidagi ko’rinishda axtaramiz:
. (13.10.4)
Buni (13.10.2) tenglamaga qo’yib va larni topamiz. Buning uchun almashtirish olamiz


Natijada

yoki

Bu munosabat o’rinli bo’lishi uchun bir xil hadlar oldidagi koeffitsiyentlar teng bo’lishi kerak, ya’ni

Bundan
(13.5)


(13.10.5) formulalardan bo’lgani uchun Natijada xususiy yechimi quyidagicha bo’ladi:
(13.10.6)
(13.10.2) tenglamaning umumiy va larning qiymatlariga qarab quyidagicha bo’ladi:
1) bo’lganda
(13.10.7)
2) bo’lganda
(13.10.8)
3) bo’lganda
(13.10.9)
(13.10.7) va (13.10.8) tenglamalardagi va lar (13.10.9) tenglamadagi va lar integrallash o’zgarmaslari, ular boshlang’ich shartlardan topiladi.
Moddiy nuqtaning tiklovchi, uyg’otuvchi va tezlikning birinchi darajasiga proporsional bo’lgan qarshilik kuchlari ta’siridagi harakati bo’lganda erkin hamda majburiy tebranishlar yig’indisidan iborat, bo’lganda davriy bo’lmagan harakat bilan majburiy tebranma harakat yig’indisidan iborat bo’lar ekan. bo’lgan holda (13.10.8) va (13.10.9) formulalarda ning ishtirok etishi va vaqt o’tishi bilan so’nuvchi tebranma harakat yo’qolib, faqat majburiy tebranma harakat qolishini ko’rsatadi, ya’ni yetarlicha vaqt oralig’idan keyin nuqta faqat
(13.10.10)
qonun bilan sodir bo’luvchi majburiy tebranma harakatda ishtirok etadi.
Yuqoridagi formulalardan ko’rinib turibdiki, majburiy tebranish chastotasi va davri muhitning qarshiligidan bog’liq emas.

Majburiy tebranish fazasi. Majburiy tebranish fazasi uyg’otuvchi kuch fazasidan miqdorga orqada qoladi, ga faza siljishi deyiladi. Biz ko’rdikki, Shu oraliqda faza siljishi (13.10.5) formula bilan aniqlanadi:
yoki
miqdorning nisbatdan bog’liq grafigi ning har xil qiymatlari uchun 33-shakl tasvirlangan.
Qarshilik bo’lmaganda h=0 va , bo’ladi. Bu holda (p .
k, p va h larning qiymatini bilgan holda faza siljishini grafik bo`yicha topish mumkin (33-shakl).
Majburiy tebranish amplitudasi. Muhitning qarshiligi bo`lganda majburiy tebranish amplitudasi (13.10.5) formuladan topiladi. Bu formuladan ko`rinib turibdiki, muhit qarshiligi katta bo`lganda majburiy tebranish amplitudasi kichik bo`ladi.
Majburiy tebranish amplitudasi C ning uyg`otuvchi kuch chastotasidan bog`liqligini ko`rsatish uchun dinamiklik koeffitsiyenti deb ataluvchi miqdordan foydalanamiz. Bu koeffitsiyent moduli ga teng bo`lgan uyg`otuvchi kuch ta`siridan hosil bo`ladigan majburiy tebranish amplitudasining nuqtaning doimiy kuch ta`siridan hosil bo`ladigan statik og`ishiga nisbatini ifodalaydi, ya`ni

34-shaklda ning har xil qiymatlari uchun dinamiklik koeffitsiyentining grafigi qurilgan.
Qarshilik bo`lmaganda, ya`ni h=0 bo`lganda p=k bo`lsa, majburiy tebranish amplitudasi cheksiz o`sadi, ya`ni rezonans hodisasi sodir bo`ladi. Muhitning qarshiligi bo`lganda esa p=k bo`lganda, majburiy tebranish amplitudasi chekli qiymatga ega bo`ladi, ya`ni
.
Majburiy tebranish amplitudasining eng katta qiymatga yoki (13.10.11) ning maxraji eng kichik qiymatiga erishtiradigan qiymatini topamiz.
(13.10.5) ning maxrajidagi ildiz ostidagi ifodani belgilab olamiz:

Bundan p bo’yicha hosila olib nolga tenglashtirib, p ni topamiz:

Bu tenglamaning ildizlari:
bo’lganda

bundan



Bulardan shunday xulosa qilish mumkinki, bo’lganda, da funksiya o’zining eng katta qiymatiga, da eng kichik qiymatiga erishadi.

h ning kichik qiymatlarida miqdor k ga juda yaqin bo’ladi.
Masalan, bo’lganda, bu holda

Shunday qilib, ning kichik qiymatlarida bo’lganda C amplitudaning tez o’sishi, ya’ni rezonans hodisasi sodir bo’ladi. h koeffitsiyentning o’sishi bilan C amplituda kamayadi.
Majburiy tebranish amplitudasining eng katta qiymati qarshilik koeffitsiyenti ya’ni shartini qanoatlantirgan holda mavjud. bo’lganda C ning eng katta qiymati mavjud emas, ya’ni ning o’sishi bilan faqat kamayadi (34-shakl) C amplituda bo’lganda o’zining maksimumiga erishadi, h ning oshishi bilan p ning bu qiymati kamaydi, ya’ni dinamiklik koeffitsiyentining dan bog’liqlik grafigida makimumlik nuqtasi dan siljiydi (34-shakl).