2002-yil 1-sonli masalalarning yechimlari 4620

Javob: 30.
Yechish.Viyet teoremasiga ko‘ra, biz tengliklarga egamiz

(1) va (3) tengliklardan ko'rinib turibdiki, ko'rsatilgan tartibda , raqamlari arifmetik progressiya hosil qiladi va biz qo'yishimiz mumkin.
, bunda
.
Keyin (2) va (4) tengliklar ko'rinishda qayta yozsak,

va

mos ravishda. (5) dan (6) ayirilsa, soddalashtirgandan keyin ni olamiz. bo'lgani uchun , ya'ni. .
4626. Tenglikni isbotlang

е ш е н и е. Записывая в виде
и пользуясь формулами, получим
Yechim: ni shaklida yozish va , formulalaridan foydalanib, biz hosil qilamiz

4627. va natural sonlar, bo‘lsin. kvadrat jadvalning kataklariga yacheykalardan tashkil topgan har bir kvadratdagi sonlar yig‘indisi bir xil bo‘lishi uchun har xil natural sonlarni juftlab yozish mumkinligini isbotlang.
Yechish. natural sonlari bo‘lsin katakchalar jadvali jadval deb ataladi, agar u har xil butun sonlar bilan to‘ldirilgan bo‘lsa (har bir katakchada bitta raqam), shuning uchun katakchalarning har bir kvadratidagi sonlar yig‘indisi bir xil. Xususan, -jadval har qanday alohida butun sonlardan tashkil topgan jadval bo‘ladi.
Покажем, как, располагая некоторой таблицей , получить -таблицу.
Обозначив через числа, образующие (слева направо) -ю сверху строку таблицы А, положим , где ,

a - натуральное число, выбранное так, чтобы любое из чисел , превосходило по абсолютной величине все числа таблицы А. Нетрудно видеть, что, приписав строку в качестве верхней к таблице , мы получим , -таблицу.
Ясно также, что аналогичным образом на основе таблицы А могла бы быть построена таблица. Следовательно, начав с -таблицы, можно последовательно построить , таблицы. А прибавив ко всем числам последней таблицы достаточно большое натуральное число, получим таблицу, все числа в которой - натуральные.

4628. 
      Привести пример периодической функции, не имеющей наименьшего положительного периода и являющейся суммой двух периодических функций с заданными наименьшими положительными периодами.
      

Р е ш е н и е. Пусть и -заданные периоды. Разберем два случая.

1. 
   и соизмеримы. Обозначим через их наибольший общий делитель (т.е. наибольшее число, для которого и , а через множество чисел, представимых в виде , где . Тогда требуемым примером служит функция , где
   

дробная часть числа . Среди периодов функции есть все числа вида , а числа и являются наименьшими положительными периодами функций и соответственно.

2. 
   и несоизмеримы. Выберем число , не являющееся рациональной комбинацией чисел и (т.е. , каковы бы ни были рациональные и ), а через обозначим множество чисел, представимых в виде , где . Пусть и функции, определенные следующим образом:
   

Тогда и периодичны, а и (соответственно) - их наименьшие положительные периоды. Требуемым примером будет функция , среди периодов которой есть все числа вида .

4629. 
      Натуральное число назовем устойчивым, если его десятичной записью оканчивается десятичная запись суммы . (Например, число 625 - устойчивое, поскольку . Доказать, что множество устойчивых чисел бесконечно.
      

Р е шен и е. Зафиксировав , рассмотрим множество

состоящее из нечетных чисел. Так как их остатки при делении на попарно различны, то для некоторого . При этом

поскольку числа и кратны числам и соответственно.
Ввиду тождества и равенства и меем ; при это означает, что число - устойчивое. Если же , то устойчивым является число . В самом деле при выполняются неравенства и ; кроме того,
.
Итак, для произвольного найдется устойчивое число, не меньшее чем . Отсюда и следует утверждение задачи.