2020 ч а с т ь I молодой ученый

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
�
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = −𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎
Где 
𝑑𝑑𝑑𝑑 и 𝑎𝑎𝑎𝑎 — количество жертв и хищников соответственно, 
𝑘𝑘𝑘𝑘 — коэффициент рождаемости жертв, 𝑙𝑙𝑙𝑙 — коэффициент убыли хищников. При встречах хищников и жертв про-
исходит убийство жертв с коэффициентом 
𝑎𝑎𝑎𝑎, сытые хищники способны к воспроизводству с коэффициентом 𝑏𝑏𝑏𝑏. 
Для данной модели Вито Вольтерра вывел три закона [1], в данной статье мы рассмотрим и приведем доказатель-
ства для первого и второго закона Вольтерры. Все законы приведены в формулировке, представленной в учебном по-
собии «Модели динамики популяций» С. В. Соколова [2] 
Первый закон Вольтерры сформулирован следующим образом: «Процесс уничтожения жертвы хищником неред-
ко приводит к периодическим колебаниям численности популяции
̆ обоих видов, зависящим только от скорости роста 
популяции
̆ хищника и жертвы и от исходного соотношения их численности. Колебания численности двух видов перио-
дическое, с периодом, зависящим как от начальной численности, так и от коэффициентов системы». 
Докажем его, основываясь на методе В. И. Арнольда [3]. 
Теорема: Фазовые кривые системы замкнуты 
Доказательство: Приведем данную систему к уравнению с разделяющимися переменными вида 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 =
𝑎𝑎𝑎𝑎(𝑏𝑏𝑏𝑏𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝑙𝑙𝑙𝑙)
𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑘𝑘𝑘𝑘 − 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎)
Его интегральные кривые совпадают с фазовыми кривыми исходной системы в области, где x, y, bx-l и k-ay отлич-
ны от 0. 
Следовательно, 
�
(𝑘𝑘𝑘𝑘 − 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎)
𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 = �
(𝑏𝑏𝑏𝑏𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝑙𝑙𝑙𝑙)
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝐶𝐶𝐶𝐶 
Аналогично можем записать 
𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑑𝑑𝑑𝑑) + 𝑞𝑞𝑞𝑞(𝑎𝑎𝑎𝑎) = 𝑐𝑐𝑐𝑐, где 𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝑙𝑙𝑙𝑙 ln 𝑑𝑑𝑑𝑑, и 𝑞𝑞𝑞𝑞 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑘𝑘𝑘𝑘 ln 𝑎𝑎𝑎𝑎. Графики функций p и q имеют 
вид ям (рисунок 1 и 2), тогда и график функции p+q имеет такой же вид. 

---