2020 ч а с т ь I молодой ученый

2
«Молодой учёный» . № 2 (292)  . Январь 2020 г.
Математика
 
Рис. 1. 
Эскиз графика функции p(x) 
Рис. 2. 
Эскиз графика функции q(y) 
Следовательно, линии уровня функции p+q являются замкнутыми кривыми (Рисунок 3), совпадающими 
с фазовыми кривыми исходной системы (Рисунок 4). Теорема доказана. 

---

3
“Young Scientist” .  # 2 (292) .  January 2020
Mathematics
Рис. 3. 
Линии уровня функции p+q 
Рис. 4. 
Фазовые кривые системы Лотки-Вольтерра 
 
Из замкнутости фазовых кривых следует, что x и y меняются со временем периодически. Первый закон Вольтерры 
доказан. 
Второй закон Вольтерры: «Средняя численность популяции для каждого вида постоянна, независимо от началь-
ного уровня, при условии, что специфические скорости увеличения численности популяции
̆, а также эффективность 
хищничества постоянны. Средняя численность популяции не зависит от начальной численности, но зависит от коэф-
фициентов системы» [2]. 
Докажем второй закон, основываясь на методе из [2], для этого вычислим среднее значение количества хищников 
и жертв для произвольной фазовой кривой в положительном квадранте. 
Произведем для удобства замену 
𝑙𝑙𝑙𝑙
1
= −𝑙𝑙𝑙𝑙. Перепишем исходную систему в виде: 

---

4
«Молодой учёный» . № 2 (292)  . Январь 2020 г.
Математика
Литература:
1. Вольтерра, В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976. 228 с.
2. Соколов, С. В. Модели динамики популяций: учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2018. 61 с.
3. Арнольд, В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Новое издание, исправл. — М.: МЦНМО, 
2012. 344 с.: ил.
4. Зорич, В. А. Математический анализ. Часть I. — 6-е изд, дополн. — М.: МЦНМО, 2012. — XVIII + 702 с. 
Библ.: 55 назв. Илл.: 65.
�
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑙𝑙𝑙𝑙𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑘𝑘𝑘𝑘 − 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑙𝑙𝑙𝑙𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑙𝑙𝑙𝑙
1
+ 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑑𝑑𝑑𝑑
Проинтегрируем первое уравнение на промежутке [0;T], где T –период колебаний. 
�
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑙𝑙𝑙𝑙𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑑𝑑𝑑𝑑)
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = �
(𝑘𝑘𝑘𝑘 − 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝑑𝑑𝑑𝑑))𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 � 𝑎𝑎𝑎𝑎(𝑑𝑑𝑑𝑑)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑇𝑇𝑇𝑇
0
𝑇𝑇𝑇𝑇
0
𝑇𝑇𝑇𝑇
0
Учитывая формулу Ньютона — Лейбница, свойства интеграла [4] и свойства периодических функций: 
�
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑙𝑙𝑙𝑙𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑑𝑑𝑑𝑑)
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
(𝑘𝑘𝑘𝑘) − 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑(0) = 0
𝑇𝑇𝑇𝑇
0
Получаем: 
1
𝑘𝑘𝑘𝑘 � 𝑎𝑎𝑎𝑎
(𝑑𝑑𝑑𝑑)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = −
𝑇𝑇𝑇𝑇
0
𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑎𝑎𝑎𝑎
 
Аналогично, интегрируя второе уравнение: 
1
𝑘𝑘𝑘𝑘 � 𝑑𝑑𝑑𝑑
(𝑑𝑑𝑑𝑑)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = −
𝑇𝑇𝑇𝑇
0
𝑙𝑙𝑙𝑙
1
𝑏𝑏𝑏𝑏
 
Второй закон Вольтерры доказан. 
Выводы: 
1. Фазовые кривые системы уравнений Лотки-Вольтерра замкнуты 
2. Численность популяций хищников и жертв меняется периодически 
3. Период колебаний зависит от начальной численности популяций и коэффициентов системы 
4. Средняя численность популяции не зависит от начального значения, но зависит от коэффициентов системы 

---