21-amaliy mashg‘ulot binominal qator va uning xususiy hollari. Ba’zi funksiyalarni binomial qator yordamida hisoblash. Binomial qatorlar

21-AMALIY MASHG‘ULOT 

Binominal qator va uning xususiy hollari. Ba’zi funksiyalarni binomial qator 

yordamida hisoblash. 

Binomial  qatorlar.  Ushbu  funksiyani  qatorga  yoyish  masalasini  qaraymiz: 

( )

(1

)

f x

x



 

 bu yerda 

1

x

 

 va 



- ixtiyoriy haqiqiy son. 

 

Bu funksiya 

(1

) ( )

( )

x f x

f x









                                       (1) 

munosabatni va  (0) 1

f



 shartni qanoatlantiradi. 

( )

f x  funksiyani 

2

3

1

2

3

( ) 1

...

...

n

n

f x

c x

c x

c x

c x

 





 



                     (2) 

darajali qatorga yoyamiz. 

1

2

, ,...

c c

 koeffisiyentlar hozircha noma’lum. U holda 

2

1

1

2

3

( )

2

3

...

...

n

n

f x

c

c x

c x

nc x





 



 



                     (3) 

(2) va (3) tengliklarni (1) munosabatga qo’yamiz: 

2

1

1

2

3

(1

)(

2

3

...

...)

n

n

x c

c x

c x

nc x









 





 

2

3

1

2

3

(1

...

...)

n

n

c x

c x

c x

c x











 



 

yoki 





2

1

1

2

2

3

1

(

2 )

(2

3 )

...

(

1)

...

n

n

n

c

c

c x

c

c x

nc

n

c

x











 

 

 

 

2

3

1

2

3

...

...

n

n

c x

c x

c x

c x

 







 





 



 

Chap  va  o’ng  tomondagi  ifodalarda  bir  xil  darajali 

x

  oldidagi  koeffisiyantalrni 

tenglashtirib, 

1

c





, 

1

2

1

2

c

c

c







, 

2

3

2

2

3

c

c

c







 

……………. 

1

1

(

1)

n

n

n

n

c

nc

c













, 

…………………. 

tengliklarni hosil qilamiz. Bu yerdan esa 

1

c





, 

2

(

1)

2!

c

 





, 

3

(

1)(

2)

3!

c

 









, 

…………………. 

(

1)(

2)...(

1)

!

n

n

c

n

 









 



, 

………………….. 

noma’lum  koffisiyentlarni  topamiz.  Koffisiyentlarning  bu  qiymatlarini  (1) 

munosabatga qo’yib, 





2

3

(

1)

(

1)(

2)

1

1

...

2!

3!

x

x

x

x



 

 













 





 

 

(

1)(

2)...(

1)

...

...

!

n

n

x

n

 









 

 



                           (4) 

qidirilayotgan  qatorni  hosil  qilamiz.  Bu  qatorni  yaqinlashish  sohasi 

1

x



  ya’ni 

1

1

x

  

 oraliqdan iborat. 

 

Hosil  qilingan  (4)  qator  binomial  qator,  uning  koeffisiyantlari  esa  binomial 

koeffisiyentlar deb ataladi. 

 

Endi bu qatorni ba’zi bir xususiy hollarinini ko’rib chiqamiz: 

 



  natural  son  (

)

n





  bo’lganda 





1 x





  darajasi 

n

  bo’lgan  ko’phad 

bo’ladi. 

 

1-misol. Ushbu 





3

( )

1

f x

x

 

 funksiyani Binomial qatorga yoying. 

 

Yechish.  Bu  misolda 

3





  ga  teng.  Qisqa  ko’paytirish  formulasiga  binoan 

funksiya bu ko’rinishni oladi: 





3

2

3

1

1 3

3

x

x

x

x



 





. 

Binomial qator yordamida ham shu ko’rinishni hosil qilish mumkin: 





3

2

3

2

3

3(3 1)

3(3 1)(3 2)

1

1 3

1 3

3

2!

3!

x

x

x

x

x

x

x









 





 





. 

 

1



 

 bo’lsa, (4) qator  

2

3

1

1

...

1

x

x

x

x

  







,  1

1

x

  

                           (5) 

ko’rinishni oladi.  

 

2-misol. Ushbu 

1

( )

1

f x

x





 funksiyani binomial qatorga yoying. 

 

Yechish:  Bu  funksiyani  binomial  qatorga  yoyish  uchun  oldinggi  ko’rilgan 

xususiy  hol  ya’ni  (5)  –ifodadagi 

x

  o’rniga 

x



  qo’yib,  yoki  bo’lmasam  (4)  

binomial qatoridan to’g’ridan to’g’ri hisoblab keltirib chiqarish mumkin: 

2

3

1

1

...

1

x

x

x

x

  







,  1

1

x

  

                             (6) 

( )

ln(1

)

f x

x





 funksiyani (5) qator yordamida Teylor qatoriga yoyamiz. 

 

Bu funksiyaning Teylor qatoriga yoyilmasini hosil qilish uchun (5) tenglikni 

 

0, x

 oraliqda integrallaymiz, bu yerda 





1,1

x

 

. 

2

3

0

0

(1

...)

1

x

x

dt

t

t

t

dt

t



   







 

yoki 

2

3

4

1

1

1

ln(1

)

... ( 1)

...

2

3

4

n

n

x

x

x

x

x

x

n



 





  



 

3-misol. Ushbu  ( )

ln(1

)

3

x

f x





 funksiyani qatorga yoying. 

 

Yechish: Bu funksiyani qatorga yoyish uchun yuqoridagi keltirib chiqargan 

ifodadan foydalanamiz ya’ni 

x

 o’rniga 

3

x

  ni qo’yib chiqamiz: 

2

3

4

2

3

4

1

1

1

ln(1

)

... ( 1)

...

3

3

2 3

3 3

4 3

3

n

n

n

x

x

x

x

x

x

n



 





  











 

Natijada so’ralgan qatorni hosil qildik. 

 

Endi ba’zi funksiyalarni binomial qator yordamida taqribiy yechish haqida 

to’xtalamiz. U uchun albatta bizga binomial qator kerak bo’ladi. 

 

4-misol. 

3

( )

f x

x



 funksiyani 

9

x



 dagi qiymatini 0,01 aniqlikda 

hisoblang. 

 

Yechish: Avvalo  berilgan funksiyani binomial qatorga yoyib olamiz. Ya’ni 





1

3

3

3

( )

1 (

1)

1 (

1)

f x

x

x

x





    

 tushunarli bo’lishi uchun 

1

x

z

 

 

belgilash kiritib olamiz. 



 



1

1

3

3

1 (

1)

1

x

z

 

 

 





1

3

( )

1

f z

z

 

 demak, ko’rinib turibdi 

1

3





 ga teng. (4) ifodaga binoan  





1

2

3

3

1 1

1 1

1

1

1

2

1

3 3

3 3

3

1

1

...

3

2!

3!

z

z

z

z







































 







 

ko’rinishni oladi, endi 

1

x

z

 

 belgilashdan 

z

 o’rniga qo’yamiz. 





1

2

3

3

1 1

1 1

1

1

1

2

1

3 3

3 3

3

1 (

1)

1

(

1)

(

1)

(

1)

...

3

2!

3!

x

x

x

x









































 

 









 

Hosil  bo’lgan  ifoda 

3

( )

f x

x



  funksiyani  binomial  qatori  hosil  bo’ldi.  Lekin  bir 

narsaga e’tibor berishimiz kerak, ya’ni 

x

 ni o’rniga keladigan  ifoda albatta 

1

x



 

dan kichik bo’lishini talab qiladi. Biz endi quyidagicha soddalashtirish bajaramiz: 





1

2

3

1

1

3

3

3

1 1

1 1

1

1

1

2

1

1 1

1

1

3 3

3 3

3

1 8

8

1

2 1

...

8

3 8

2!

8

3!

8







































 

 























  











 

 





 

 













 

Tenglikni o’ng tomonidagi qavsni ochamiz va 0,001 aniqligda  hisoblaymiz 

3

9

2,08



 kelib chiqadi. Demak, 

3

( )

f x

x



 funksiyani 

9

x



 dagi qiymatini 0,01 

aniqlikdagi qiymati 2,08 ga teng bo’lar ekan. 

 Darsda mustaqil ishlash uchun topshiriqlar. 

1. Ushbu 

( )

1

f x

x





 funksiyani binomial qatorga yoying? 

2. Ushbu 

1

( )

1 2

f x

x





 funksiyani binomial qatorga yoying? 

3. Ushbu 

1

( )

1

f x

x





 funksiyani binomial qatorga yoying? 

4. Ushbu 

3

1

( )

1

f x

x





 funksiyani  binomial  qatorga yoying? 

5. Ushbu 

3

129

 sonni 0,001 aniqlikda hisoblang.  

6. Ushbu 

5

30

 sonni 0,001 aniqlikda hisoblang. 

Mustaqil ishlash uchun topshiriqlar uyga vaziafa. 

1. Ushbu 

3

( )

1 2

f x

x





 funksiyani binomial qatorga yoying? 

2. Ushbu 

1

( )

1 7

f x

x





 funksiyani binomial qatorga yoying? 

3.  Ushbu 





( )

1

n

f x

x

 

  (bu  yerda  n-natural  son)  funksiyani  binomial  qatorga 

yoying? 

4. Ushbu  ( )

ln

f x

x



 funksiyani binomial qatorga yoying? 

5. Ushbu 

3

10

 sonni 0,001 aniqlikda hisoblang. 

6. Ushbu 

4

60

 sonni 0,001 aniqlikda hisoblang. 

7. Ushbu 

3

1,015

 sonni 0,001 aniqlikda hisoblang.