21-ma`ruza. Gruppa. Halqa. Jism. Maydon Reja

Z=  Z; +  da a ga teskari element (- a) hamda neytral element 0 bo‘ladi .
Z =  Z; +  ga butun sonlarning additiv gruppasi deyiladi.
Endi Z ni ko‘paytirishga nisbatan qarasak, Z =  Z; +  monoid bo‘ladi, chunki a 0 ga (teskari) simmetrik element a^-1=1/aZ.
3. Barcha ratsional sonlar to‘plami Q qo‘shishga nisbatan additiv Abel gruppasi Q= Q; +  bo‘ladi. Agar Q₁=Q \{0}to‘plamni qarasak, Q₁= Q₁;  ham multiplikativ gruppa bo‘ladi.
4. Haqiqiy sonldar to‘plamini qarasak, u holda R= R; + additiv Abel gruppasi ; R₁= R₁;  esa multiplikativ Abel gruppasi bo‘ladi. Bu yerda R₁=R \{0}.
5. m0 moduli bo‘yicha chegirmalar sinflari { C₀,S_1, C_{2, ... ,} C_m-1}=Z / mZ to‘plamida qo‘shish amalini

tenglik bilan aniqlasak, Z/mZ=  Z/ mZ; +  additiv Abel gruppasi bo‘ladi. Bunda neytral element C₀ ; C_i elementga qarama karshi element C_m-i sinf bo‘ladi, chunki C_i +C_m-i = C_m = C₀ .
6. m=6 modul bo‘yicha chegirmalar sinflari to‘plami Z/6Z={ C₀ ,S₁, C₂, C₃,S₄, C_5, } dan iborat bo‘ladi.

+	S0	S1	S2	S3	S4	S5
S0	S0	S1	S2	S3	S4	S5
S1	S1	S2	S3	S4	S5	S0
S2	S2	S3	S4	S5	S0	S1
S3	S3	S4	S5	S0	S1	S2
S4	S4	S5	S6	S1	S2	S3
S5	S5	S0	S1	S2	S3	S4

Bu jadvaldan foydalanib gruppa ta’rifidagi 1), 2), 3), 4), shartlarning bajarilishini osonlik bilan tekshirish mumkin.
Z/6Z=  Z/ 6Z; +  -additiv abel gruppasi.
7). Z/mZ to‘plamda ko‘paytirish amalini

tenglik bilan aniqlasak.  Z/ mZ;   -multiplikativ monoid bo‘ladi. Bunda neytral element S₁ bo‘ladi, assotsiativlik qonuni bajariladi, lekin ixtiyoriy S_i uchun C_i C_j = C₁ shartni qanoatlantiruvchi C_j element mavjud emas.
Masalan, m=6 da C₃ C₀ = C₀ , C₃ C₁ = C₃ , C₃ C₂ = C₀ , C₃C₃ = C₃ , C₃C₄ = C₀ , C₃ C₅ =C₃ ,ya’ni C₃ C_j = C₁ tenglikni qanoatlantiruvchi C_j sinf mavjud emas.
8). M={1,-1} to‘plamning arifmetik ko‘paytirish amaliga nisbatan multiplikativ gruppa bo‘lishligini isbotlang.
9). a+b3 ko‘rinishdagi sonlar to‘plamini a,b R bo‘lganda ko‘paytirish va qo‘shish amallariga nisbatan gruppa bo‘lish yoki bo‘lmasligini tekshiring.
Gruppaning xossalari
1.Ixtiyoriy gruppada neytral element bir qiymatli aniqlanadi va gruppaning istalgan elementi uchun yagona teskari (simmetrik )element mavjud bo‘ladi. Biz bu xossani ilgari umumiy holda isbotlagan edik .
2. Har qanday multiplikativ gruppada bo‘lish munosabati o‘rinli, ya’ni istalgan a va b elementlar uchun shunday x,y elementlar topiladiki, ax=b, ya=b tenglamalar yagona yechimga ega .
Isboti. ax=b tenglamani chap tomondan a^-1 ga ko‘paytirsak, a^-1(ax)= a^-1b yoki (a^-1 a)x= a^-1b  ex = a^-1b x= a^-1 b ga ega bo‘lamiz. x= a^-1b bilan birga c ham ax=b tenglamaning yechimi bo‘lsa , u holda c=e c=( a^-1 a)c= a^-1(ac); bu yerda as =b bo‘lgani uchun c= a^-1b, ya’ni s= x.
3. Istalgan grupaning elementlari regulyar elementlardir .
Haqiqatan ham a⊤ b= a⊤ c  b=c va b⊤a= c⊤a  b=c kelib chiqadi. Gruppaning elementlariga simmetrik a element mavjud
l bo‘lgani uchun a⊤ (a⊤ b)= a⊤ (a⊤ c)  (a⊤a) ⊤b=( a ⊤ a) ⊤c  e⊤ b=e⊤c b=c . Keyingi tenglik ham shuning singari isbotlanadi .
4. G,⊤ -gruppaning ixtiyoriy n ta elementi shu gruppada aniqlangan algebraik amal ⊤ga nisbatan assotsiativdir .
Isboti. Isbotni yozuvda soddalik uchun ko‘paytirish amaliga nisbatan olib boramiz.
1) n=1,2 da isbotning hojati yo‘q ;
n=3 da esa gruppa ta’rifidagi 1)-shartda berilgan.
Faraz etaylik , n=k da teorema o‘rinli bo‘lsin, ya’ni n ta ko‘paytuvchining ko‘paytmasi qavslarni qo‘yish tartibiga bog‘liq bo‘lmasin. U holda a₁ a₂ ...a_k = deb yoza olamiz . Bu tenglikning ikkala tomonini a_k+1 ga ko‘paytirsak,
(a₁ a₂ ...a_k )  a_k+1 = ( )  a_k+1 = · a_k+1.
Endi va lardagi ko‘paytuvchilar soni k dan kichik shuning uchun bu ko‘paytuvchilar uchun xossa o‘rinli.
^Endi , , a_k+1 hadlar uchun (ularni 3ta element deb) assotsiativlik qonunini qo‘llasak  a_k+1 ifodaga va demak (a₁ a₂ ...a_k )  a_k+1 ifodada ham uning qiymati qavslarni qo‘shish tartibiga bog‘liq emas degan xulosaga kelamiz .
5. a₁ ,a₂ , ...,a_k G elementlarining ko‘paytmasiga teskari bo‘lgan element a_k^-1a_k-1^-1 ...a₁^-1 bo‘ladi .(Tekshiring). a.a...a=aⁿ deb belgilaymiz , a⁰ =e .
6. Agar a G bo‘lsa , u holda aⁿ G, nN bo‘ladi .
Gruppalarning gomomorfligi
Faraz etaylik , G =  G;   ^-1  va H =  H;   ^-1  -multiplikativ gruppalar berilgan bo‘lsin. Agar G ni H ga akslantiruvchi h akslantirish asosiy amallarni saqlasa , ya’ni
1) a,b G uchun h(ab)= h(a) h(b) ,
2)  a  G, h(a^-1) =(h(a)) ^-1
shartlar bajarilsa, h ga gomomorf akslantirish , G va H gruppalarga esa gomomorf (o‘xshash) gruppalar deyiladi. Agar h:G  H gomomorf akslantirish bo‘lib G ni H ga (ustiga) o‘tkazsa h ga epimorf akslantirish deyiladi .
Agar h:G  H akslantirish o‘zaro bir qiymatli akslantirish bo‘lib, asosiy amallarni saqlasa bunday akslantirishga izomorf akslantirish deyiladi (xossalari bir xil). Bu holda G va H gruppalarga izomorf gruppalar deyiladi va G  H ko‘rinishda yoziladi.
G ni G ga (ustiga) akslantiruvchi izomorf h akslantirishga avtomorfizm deyiladi.
1-teorema . Agar h:G  H akslantirish G dagi binar amal  ni saqlasa, ya’ni  a,bG, h(ab)=h(a) h(b) tenglik o‘rinli bo‘lsa,u holda h G gruppaning birlik ye elementini H gruppaning birlik elementiga o‘tkazadi va h:G  H gomomorf akslantirish bo‘ladi.
Isboti . Faraz etaylik , ye G ning bir elementi bo‘lsin va u h akslantirishda ye H elementga utsin , ya’ni ye = h(e) H. ye ning H uchun birlik element ekanligini ko‘rsatamiz . 1) ga asosan
h(ee)=h(e)  h(e) = ye ye, ikkinchi tomondan ye =h(e)=h(e e). Demak, ye ye =e, ya’ni ye H birlik element. h ning gomomorf akslantirish ekanligini ko‘rsatish uchun 2) shartni qanoatlantirishni ko‘rsatish yetarli.
Faraz etaylik , a G bo‘lsin. U holda G gruppa bo‘lgani uchun
 a^-1G va a a^-1 = e G . (1) ga asosan bundan h(a a^-1) = h(a) h(a^-1)= h(e)= e H . Demak,  a  G, h(a^-1) =(h(a)) ^-1 , ya’ni h(a) ga teskari element.
Gruppalar to‘plamidagi izomorflik munosabati ekvivalentlik munosabatidir (tekshirib ko‘ring ).
Misollar. 1. Q* -barcha noldan farqli ratsional sonlar to‘plami va Q*= Q* ;  , ^-1  esa ratsional sonlarning multiplikativ gruppasi bo‘lsin. Q⁺=Q⁺;  , ^-1  -musbat ratsional sonlarning multiplikativ gruppasi bo‘lsin. U holda h(a)=a, h:Q* Q⁺ ( ya’ni h:aa) gomomorf akslantirish bo‘ladi.
1-shart. h(a.b)=h(a).h(b), chunki ab=ab
2-shart. h(a^-1) =(h(a)) ^-1, a^-1=a^-1 lar absolyut qiymatning xossalariga asosan bajariladi.
2. R⁺= R⁺;  , ^-1  -musbat haqiqiy sonlarning multiplikativ gruppasi, R=R ; +, -  esa haqiqiy sonlarning additiv gruppasi bo‘lsin, u holda f(x)=log x funksiyaning yordamidagi akslantirish f: R⁺ R izomorf akslantirish bo‘ladi, chunki log (x.y)=log x=log y, log x^-1 = - log x .
3. g (x) = 2^x funksiya yordamida akslantirish (ya’ni f (x)=log₂ x funksiyaga teskari funksiya bilan) g:R R⁺ ham izomorf akslantirish bo‘ladi, chunki 2^x+y = 2^x · 2^y, 2^-x =(2^x )^-1 .

Mavzuni mustahkamlash uchun savollar
1. Gruppa deb nimaga aytiladi?
2. Chekli gruppaning tartibi deganda nimani tushunasiz?
3. Additiv va multiplikativ gruppaga ta’rif bering.
4. Qism gruppa deganda nimani tushunasiz ?
5. Gruppaning normal bo‘luvchisi deb nimaga aytiladi?
6. Lagranj teoremasini ayting .
7. Faktor gruppaga ta’rif bering.
8. Gomomorf gruppalar deb qanday gruppalarga aytiladi?
9. Izomorf gruppalar deb qanday gruppalarga aytiladi?