22 mavzu. Аniq integral va uning mavjudlik shartlari аниқ интеграл тушунчаси 10. Сегментни бўлаклаш

3⁰. Аниқ интеграл таърифи. Фараз қилайлик, функция да берилган ва чегараланган бўлсин. Унда оралиқнинг ҳар қандай бўлаклаши ҳамда ҳар қандай ларда юқоридаги (2) ва (3) муносабатлар ўринли бўлиб,
(4)
б ўлади.
Э нди сегментнинг бўлаклашлар тўплами нинг ҳар бир бўлаклашга нисбатан функциянинг Дарбу йиғиндилари ва ни тузиб , ушбу

тўпламларни қараймиз. Бу тўпламлар (4) муносабатга кўра чегараланган бўлади.
5-таъриф. тўпламнинг аниқ юқори чегараси функциянинг оралиқдаги қуйи интеграли дейилади ва

каби белгиланади.
Демак,

6-таъриф. тўпламнинг аниқ қуйи чегараси функциянинг оралиқдаги юқори интеграли дейилади ва

каби белгиланади.
Демак,

7-таъриф. Агар функциянинг қуйи ҳамда юқори интеграллари бир-бирига тенг

бўлса, функция оралиқ бўйича интегралланувчи (Риман маъносида интегралланувчи) дейилади.
Бунда қуйи ҳамда юқори интегралларнинг умумий қиймати функциянинг оралиқ бўйича аниқ интеграли (Риман интеграли) дейилади ва

каби белгиланади.
Демак,

сон интегралнинг қуйи чегараси, сон эса интегралнинг юқори чегараси, сегмент интеграллаш оралиғи дейилади.
Эслатма. Юқорида келтирилган функциянинг интеграли таърифига биноан интеграл

ўзгармас сонни ифодалайди. Бинобарин, интеграл остида ўзгарувчининг қандай ёзилишига боғлиқ бўлмайди:

2-мисол. бўлсин.
Бу функциянинг интегралланувчанлиги аниқлансин.
◄ сегментнинг ихтиёрий

бўлаклашини олиб, унга нисбатан Дарбу йиғиндиларини топамиз:


Бундан


бўлиб,

бўлиши келиб чиқади.
Демак, функция да интегралланувчи ва

Хусусан , бўлганда

бўлади. ►
3-мисол. бўлсин. Бу Дирихле функциясини да интегралланувчиликка текширилсин.
◄ сегментнинг ихтиёрий бўлаклашига нисбатан Дирихле функциясининг Дарбу йиғиндилари


бўлиб,

бўлади . Демак,


Дирихле функцияси интегралланувчи эмас. ►