22 mavzu. Аniq integral va uning mavjudlik shartlari аниқ интеграл тушунчаси 10. Сегментни бўлаклаш

22 - MAVZU. АNIQ INTEGRAL VA UNING MAVJUDLIK SHARTLARI
Аниқ интеграл тушунчаси
1⁰. Сегментни бўлаклаш. Бирор сегмент берилган бўлсин. Бу сегментнинг қуйидаги

муносабатда бўлган
(1)
нуқталари тўпламини олайлик.
Равшанки, (1) тўплам сегментни

бўлакларга ажратади.
1-таъриф. Ушбу

муносабатда бўлган

нуқталар тўплами сегментни бўлаклаш дейилади ва

каби белгиланади.
Бунда ҳар бир нуқта сегментнинг бўлувчи нуқтаси, сегмент эса бўлаклашнинг оралиғи дейилади.
Қуйидаги

миқдор бўлаклашнинг диаметри дейилади.
Масалан, бўлганда қуйидаги

нуқталар системаси сегментнинг

бўлаклашларини ҳосил қилади. Уларнинг диаметрлари мос равишда

бўлади.
Ю қоридаги келтирилган таъриф ва мисоллардан кўринадики, сегментнинг турли усулар билан исталган сондаги бўлаклашларини тузиш мумкин. Бу бўлаклашлардан иборат тўпламни билан белгилаймиз:

2⁰. Дарбу ҳамда интеграл йиғиндилар. функция да аниқланган ва чегараланган бўлсин. Унда

бўлади.
Айтайлик,

сегментнинг бирор бўлаклаши бўлсин. У ҳолда бу бўлаклашнинг ҳар бир оралиғида

мавжуд бўлиб
(2)
бўлади.
2-таъриф. Ушбу

йиғинди функциянинг сегментнинг бўлаклашига нисбатан Дарбунинг қуйи йиғиндиси дейилади.
Равшанки, бу йиғинди функцияга ҳамда нинг бўлаклашига боғлиқ бўлади:

3-таъриф. Ушбу

йиғинди функциянинг сегментнинг бўлаклашига нисбатан Дарбунинг юқори йиғиндиси дейилади.
Бу йиғинди функцияга ҳамда нинг бўлаклашига боғлиқ бўлади:

Энди ҳар бир нинг қийматида сегментда ихтиёрий нуқтани тайинлаймиз: Натижада нинг бўлаклашига нисбатан

нуқталар тўплами ҳосил бўлади. Бу нуқталардаги функциянинг

қийматлари ёрдамида ушбу

йиғиндини тузамиз.
4-таъриф. Қуйидаги

йиғинди функциянинг сегментнинг бўлаклашига нисбатан интеграл йиғиндиси дейилади.
Интеграл йиғинди, функцияга, бўлаклашга ҳамда ҳар бир да олинган нуқталарга боғлиқ бўлади:

Равшанки, учун

бўлиб, айни пайтда
(3)
тенгсизликлар бажарилади.
1-мисол. Ушбу

функциянинг сегментда қуйидаги

бўлаклашга нисбатан Дарбу йиғиндилари ҳамда

деб, интеграл йиғинди топилсин.
◄ Берилган функция учун сегментнинг

бўлаклашида



ҳамда


бўлади.
Энди бўлишини эътиборга олиб топамиз:


►