22 mavzu. Аniq integral va uning mavjudlik shartlari аниқ интеграл тушунчаси 10. Сегментни бўлаклаш

4⁰. Интеграл йиғиндининг лимити. Фараз қилайлик, функция сегментда берилган бўлиб, у шу сегментда чегараланган бўлсин.
сегментни бирор

бўлаклашини оламиз.
Маълумки, функциянинг бу бўлаклашга нисбатан интеграл йиғиндиси

бўлади.
8-таъриф. Агар сон олинганда ҳам шундай сон топилсаки, сегментни диаметри бўлган ҳар қандай бўлаклаши учун тузилган йиғинди ихтиёрий нуқталарда

тенгсизликни бажарса, сон йиғиндининг даги лимити дейилади ва

каби белгиланади.
Бу таърифни қуйидагича ҳам айтиш мумкин:
Агар

учун

бўлса, у ҳолда

дейилади.
9-таъриф. Агар да функциянинг интеграл йиғиндиси чекли лимитга эга бўлса, функция сегментда интегралланувчи (Риман маъносида интеграл-ланувчи) дейилади, сонига эса функциянинг сегмент бўйича аниқ интеграли дейилади. Уни

каби белгиланади.
Демак,

4-мисол. бўлсин. Бу функциянинг аниқ интеграли топилсин.
◄ сегментнинг ихтиёрий

бўлаклашини олиб унга нисбатан функциянинг интеграл йиғиндисини тузамиз:

бунда

Энди

тенгсизликларни га кўпайтириб, ҳосил бўлган

тенгсизликларни нинг қийматлари бўйича ҳадлаб қўшиб

яъни
(3)
бўлишини топамиз.
Бу тенгсизликлардаги

йиғиндиларни лар орқали ифодалаймиз:


Натижада (3) тенгсизликлар ушбу

кўринишга келади. Бу муносабатдан

бўлиши келиб чиқади.
Равшанки,

Демак, сонга кўра дейилса, у ҳолда бўлган ихтиёрий бўлаклаш ва ихтиёрий ларда

бўлади. Бу эса

бўлишини билдиради. Демак,
►
Шундай қилиб, функциянинг аниқ интеграли икки хил таърифланади. Бу таърифлар эквивалент таърифлар бўлади. (Қаралсин, [1] 9-боб)
Одатда, сегмент бўйича интегралланувчи функция-лар тўплами каби белгиланади:
функция да интегралланувчи.


Машқлар

1. функциянинг да чегараланганлиги унинг да интегралланувчи бўлишининг зарурий шарти экани исботлансин.

2. Айтайлик, ва функциялар да берилган ва чегараланган бўлиб, эса нинг ихтиёрий бўлаклаши бўлсин. Агар да бўлса,

бўлиши исботлансин.