3-4-ma’ruza Mavzu: Ajralgan yadroli Fredgolm II tur integral tenglamalarini ychish usullari

2.Ajralgan yadroli Fredgolm II tur integral tenglamasini ikki argumentli Agar ikki argumentli noma’lum funksiya uchun

Fredgolm tenglamasi berilgan bo’lib, uning yadrosi aynigan bo’lsa, ya’ni uni


ko’rinishda yozish mumkin bo’lsa, bunday tenglamani yechish masalasini ta chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishga keltirish mumkin. Buning qanday bajarilishini quyidagi misolda ko’rsatamiz.
Ushbu tenglama yechilsin:

bu yerda A-o’zgarmas son.
Berilgan tenglamani boshqacharoq yozib olaylik:

O’ng tomondagi aniq integrallar o’zgarmas sonlarni beradi, shu sababli ularni

deb belgilab olamiz. U holda

Mana shu ning ifodasini yuqoridagi integral ishoralari ostiga qo’yamiz, natijada


Bu integrallarni hisoblash natijasida
, ya’ni
kelib chiqib. Xuddi shunga o’xshash,


Bu integrallarni hisoblash natijasida

ya’ni

kelib chiqadi. Shunday qilib, ushbu chiziqli tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi:

Kramer formulalariga muvofiq, bu sistemaning yechimi

U holda berilganintegral tenglamaning yechimi quyidagicha yoziladi:

bunda ,ya’ni .
3.Koeffitsientlarni tenglash usuli.
Aynigan yadroli Fredgolm tenglamalarini boshqa bir usul bilan ham yechish mumkin. Bu usul esa mos koeffitsientlarni taqqoslashdan, ya’ni solishtirishdan iborat. Biz bu usulni misollar yechish orqali ko’rsatish bilan chegaralanamiz.
1-misol. Ushbu tenglamani yeching:

O’ng tomondagi integralni quyidagicha belgilab olaylik:

U holda


Bundagi va hozircha noma’lum sonlar. Endi ning so’nggi ifodasini berilgan integral tenglamaga qo’yamiz:

O’ng tomondagi integralni hisoblab chiqilsa

hosil bo’ladi. Bu tenglik ayniyat bo’lgani uchun , uning ikki tomonidagi ning koeefitsientlari o’zaro va ozod hadlar ham o’zaro teng bo’lishi kerak.Ularni tenglash natijasida ushbu

Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi. Ularni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:

Bu sistemaning yechimi bo’ladi. Demak, berilgan integral tenglamaning yechimi

bo’ladi.
2-misol.Ushbu tenglamani yeching:

O’ng tomondagi qavslarni ochib ikkala integralni ham qisqacha va orqali belgilaymiz:


ning mana shu ifodasini berilgan integral tenglamaga qo’yamiz:

Bu yerdagi integrallar hisoblab chiqilsa, quyidagi ayniyat

hosil bo’ladi. Uning ikki tomonidagi ning koeffitsientlarini o’zaro hamda ozod hadlarni o’zaro tenglash natijasida quyidagi tenglamalar

ya’ni

chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi. Bu sistemaning yechimi

Demak, integral tenglamaning yechimi

bo’ladi.
Mashqlar
Quyidagi Fredgolm tenglamalari koeffitsientlarni tenglash usuli yordamida yechilsin:
1.










2.





Адабиётлар:

1. 
   М.Салоҳиддинов “Интеграл тенгламалар”.
   
2. 
   М.Л.Красанов “Интегралние уравнения”, Наука М:1975Ш.Т.Мақсудов “Чизиқли интеграл тенгламалар элементлари” Тошкент “Ўқитувчи” 1975-й.