3 Amaliy mashg`uloti. Chiziqli sistemalarning chastotaviy xarakteristikalarini qurish

3 - Amaliy mashg`uloti.
Chiziqli sistemalarning chastotaviy xarakteristikalarini qurish


Ishdan maqsad: Avtomatik boshqarish tizimlarining quyidagi xarakteristikalarini qurishni o`rganish:
- amplitudaviy - fazali W(jw),
- amplitudaviy - chastotali A(w),
- fazali chastotali j(w)
- haqiqiy chastotali U(w)
- mavhum chastotali V(w).


Nazariy qism
Dinamik bo`g`inlarning asosiy xarakteristikalaridan biri, uning chastotali uzatish funktsiyasidir.

1-Rasm.
Kirish yo`liga x=x <sub>max</sub> cos wt, garmonik ta`sir berilgan dinamik bo`g`inni ko`rib chiqamiz (1-rasm):
Bu erda: x <sub>max</sub> - amplituda;
w- berilgan ta`sirning burchak chastotasi;
Bu chiziqli bo`g`inning chiqish yo`lida barqaror rejimda ham o`sha chastotali garmonik funktsiya hosil bo`ladi, ammo umumiy holda, kirish qiymatiga nisbatdan j burchakka faza bo`yicha siljish sodir bo`ladi. SHunday qilib, chiqish qiymati y^^ quyidagicha yozish o`rinlidir:
y=y_maxcos(wt+j)
CHastotali uzatish funktsiyasi W(jw) kompleks son bo`lib, uning moduli, chiqish qiymati amplitudasining kirish amplitudasi nisbatiga tengdir, argumenti esa - chiqish qiymati fazasi siljishining, uning kirish yo`lidagi qiymati nisbatiga tengdir:

arg W (jw)= j (1)


CHastotali uzatish funktsiya quyidagi ko`rinishda ifodalanishi mumkin:
(2)
Bu erda: A(w)-- chastotali uzatish funktsiyasining moduli;
j(w)- argument yoki faza;
U(w) i V(w)- chastotali uzatish funktsiyasining mos ravishdagi haqiqiy va mavhum tashkil etuvchilari.
Umumiy hollarda, har qanday ko`rinishdagi kirish signali uchun, chastotali uzatish funktsiyasini, chiqish va kirish qiymatlarining Fur’e tasvirlash nisbati deb ifodalash mumkin:
(3)
Bo`g`inning chastotali xossalarini ko`rgazmali ifodalash uchun, uning chastotali xarakteristikalari qo`llaniladi.
Amplitudaviy - fazali chastotali xarakteristika (AFCHX) kompleks tekislikda quriladi. U chastotali uzatish funktsiyaga mos bo`lgan vektorning geometrik tugash joyini (gadograf) tasvirlaydi.
2 -rasmda, W(jw)=U(w)+jV(w) ifodaning w-ning o`zgarishi 0 dan ¥ gacha bo`lgan grafik ko`rinishi ko`rsatilgan.

2 –rasm.


Abstsissa U(w)=Re W(jw)ning haqiqiy qismi ko`chiriladi, ordinata o`qida esa, V(w)=Jm W(jw). ning mavhum qismi joylashtiriladi. Kompleks tekislikdagi har bir chastota uchun nuqta belgilanadi. Belgilangan nuqtalar ravon qiyshiq chiziq kuoinishida birlashtiriladi.
AFCHX nafaqat musbat chastotalar uchun, balki manfiy chastotalar uchun ham quriladi. AFCHX ni manfiy chastotasini qurishda, uning musbat chastotasini haqiqiy uqqa nisbatan akslantirish yo`li bilan hosil qilish mumkin. 2 - rasmda AFCHX nimg manfiy w uchun ko`rilgan grafigi punktir chiziqlar orqali ifodalangan. Tanlangan chastotaga mos keladigan va koordinata boshidan AFCHX nuqtasigacha o`tkazilgan vektor uzunligi, chastotali uzatish funktsiyasi moduliga tengdir.
Burchak vektor va soat strelkasiga qarama - qarshi hisoblanadigan haqiqiy o`qning musbat yo`nalishi, chastotali uzatish funktsiyasining argumentiga yoki fazasiga teng bo`ladi.
SHunday qilib, AFCHX avvalambor bo`g`inni kirish ta`sirining har bir chastotasi uchun, amplitudaning kirish va chiqish qiymatlari va ular orasidagi fazalar siljishipi ko`rgazmali ifodalashga imkon beradi.
SHuni ta`kidlash lozimki, AFCHX o`rniga alohida amplituda - chastotali xarakteristikani va fazali chastota xarakteristikalarni qurish mumkin. Bunday xaraktikalarni qurish tartibi 3 - rasmda ko`rsatilgan.

3-Rasm.


Amplituda chastotali xarakteristika, bizga bo`g`inning har xil chastotali signallarni qanday o`tkazishini ko`rsatadi. Kirish va chiqish amplidalari qiymatlarining nisbati, signallarni baholashga imkon beradi.
Fazali chastota xarakteristika esa, turli chastotalarda bo`g`in kiritadigan fazali siljishlarni ko`rsatadi.
U(w) va V(w) funktsiyalar uchun alohida haqiqiy va mavhum chastota xarakteristikalarni ham qurish mumkin. Bunday yondashuv yordamida ko`rilgan xarakteristikalar 4-rasmda ko`rsatilgan.

Rasm.4


Edi barcha fikrlarni inobatga olib misol ko`rib chiqamiz.
Uzatish funktsiyasi:
, bo`lgan va K=3; T=0,2
uchun operiodik bo`g`inning quyidagi chastota xarakteristikalarini qurish talab qo`yilsin:
- kompleks W(jw), chastota xarakteristikasi;
- amplituda A(w) chastota xarakteristikasi;
- fazali j(w) chastota xarakteristikasi;
- haqiqiy U(w) chastota xarakteristikasi;
- mavhum V(w) chastota xarakteristikasi;
Echish: Oddiy uzatish funktsiyasi W(p) ga p=jw. ni qurish orqali W(jw) ni oson hosil qilish mumkin:
.
Ifodadan ko`rinib turibdiki, maxrajda mavhum qiymat hamroh bo`lgan. SHuning uchun, surat va maxrajni kompleks kettalikka ko`paytirish yo`li bilan maxrajdagi mavhum qiymatdan ozod qilamiz. SHuningdek, haqiqiy U(w) va mavhum V(w) qismlarga bo`lish yo`li bilan quyidagilarni hosil qilamiz:

W(jw)=U(w)+jV(w).

;
va

formulalar orqali chastotali uzatish funktsiyasining modulini va argumentini hosil qilamiz.
Bizning misolimiz uchun:
.
Noldan cheksizlikkacha oraliqda chastotaga har xil qiymatlar berib, U(w), V(w), A(w) va j(w) larni hisoblash mumkin. Natijalarni jadvalga yozganda quyidagilarni hosil qilamiz.




.

w	A(w)	j(w)	U(w)	V(w)
0 5 10 ¥	3 2,15 ……. 0	0 -45^0 …….. -90^0	3 1,5 …….. 0	0 -1,5 ……. 0

W(w), A(w), j(w), U(w) va V(w) ning grafiklarini quramiz:

5-Rasm.