3-Bap. Shar qatlamlarında Laplas teńlemesi ushın shegaralıq máseleler

Mısal 1. shar saqıynasında

shegaralıq shártlerdi qanaatlandıratuġın garmonikalıq funkciyanı tabıń.

Sheshiliwi. Máseleniń matematikalıq jazılıwı



Máseleniń sheshimi

kóriniste izlenedi, bul jerde hám ler anıqlanıwı kerek bolġan belgisiz koefficientler. Shegaralıq shártlerden bul belgisiz koefficientler ushın tómendegi teńlemeler sistemasına iye bolamız

Qalġan barlıq koefficientler nolge teń. Bul sistemanı sheship belgisiz koefficientlerdiń


mánislerine iye bolamız.
Solay etip, izlenip atırġan garmonikalıq funkciya

túrine iye boladı.
Mısal 2. shar saqıynasında

shegaralıq shártlerdi qanaatlandıratuġın garmonikalıq funkciyanı tabıń.
Sheshiliwi. Máseleniń matematikalıq jazılıwı



Máseleniń sheshimi

kóriniste izlenedi, bul jerde hám ler anıqlanıwı
Shegaralıq shártlerden, bul sheshimdegi belgisiz koefficientler tek ġana hám indeksli mánislerin ġana tabıw jetkilikli ekenligi málim. Basqasha sóz benen aytqanda sheshimdi

kóriniste izlegen qolaylı. Shegaralıq shártlerdi paydalanıp, belgisiz belgisiz koefficientler ushın tómendegi teńlemelerge iye bolamız:

Bul teńlemelerden bolıp, sheshim

boladı.
Shar bóleklerindegi Dirixle máselesiniń dara jaġdayları. Eger bolsa, onda sheshim hám larġa ġárezsiz boladı hám Laplas teńlemesi radiallıq simmetriya jaġdayı ushın shar bóleġindegi Laplas teńlemesi dep ataladı. Bul jaġdayda

bolıp,

bolġanlıqtan

Tap usınday

bolġanlıqtan Laplas teńlemesi

túrindegi ádettegi differenciallıq teńleme kórinisinde boladı. Solay etip, Laplas teńlemesi ushın shegaralıq másele bul jaġdayda
(6)

túrinde qoyıladı, bul jerde hám leer turaqlı sanlar.
(6) teńlemeniń ulıwma sheshimi
(7)
bul jerde hám ler erikli turaqlılar. Bul turaqlılar shegaralıq shártten anıqlanadı

Bunnan

sheshim

kóriniske iye boladı.