3-lhi 1-topshiriq: d moddiy nuqtaning harakat differensial tenglamalarini integrallash

Yechimi. Sanoq sistemasini rasmda ko‘rsatilganidek tanlaymiz. M jismni moddiy nuqta desak,unga og‘irlik kuchi ,silliq sirtning reaksiYa kuchi hamda prujinani elastiklik kuchi ta’sir qiladi.
Boshlang‘ich paytda bo‘lgani uchun M nuqtaning harakat differensial tenglamasi quyidagicha bo‘ladi:

bunda
M nuqta harakati differensial tenglamasining boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi echimi quyidagicha bo‘ladi:
m yoki m.
M jism tebranma harakatining tebranish davri s bo‘ladi.
Masala. m massali M jism bikirlik koeffitsienti c bo‘lgan AB prujina B uchiga osilgan. M jism ta’sirida prujinaning statik cho‘zilishi f_st ga teng. Jismga muhitning qarshilik kuchi ta’sir qiladi. Boshlang‘ich paytda M jism o‘zining statik muvozanat holatida bo‘lib,tezligi V₀ ga teng . M jismning harakat qonuni aniqlansin.
Yechimi. Sanoq sistemasining boshini M jismning statik muvozanat holati O nuqtada olamiz. Ox o‘qni vertikal pastga yo‘naltiramiz. Jismni moddiy nuqta deb qaraymiz.Bu nuqtaga og‘irlik kuchi , prujinaning elastiklik kuchi , muhitning qarshilik kuchi ta’sir qiladi.Boshlang‘ich paytda . M moddiy nuqtaning harakat differensial tenglamasi quyidagicha yoziladi:
(1)
M nuqtaning statik muvozanat holatida bo‘lgani uchun (1) quyidagi ko‘rinishni oladi:


yoki

bunda
(2)
belgilashlar qabul qilsak,
(3)
hosil bo‘ladi.
(2) dan ko‘ramizki, c va m ning har qanday qiymatlari uchun b=k. Binobarin (3) differensial tenglama yechimi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
(4)
(4) ga boshlang‘ich shartlar va ni qo‘ysak, M jismning harakat qonuni kelib chiqadi:


Masala.Bikirlik koeffitsienti c=4000 N/m bo‘lgan prujinaga og‘irligi G=20 N bo‘lgan jism osilgan (1-rasm). Moddiy nuqta deb qaraluvchi bu jismga davriy sifatda o‘zgaruvchi uyg‘otuvchi kuch va tezlikning birinchi darajasiga proporsional bo‘lgan qarshilik kuchi ta’sir qiladi ( jism massasi).Uyg‘otuvchi kuchning doiraviy takrorligi qanday bo‘lganda majburiy tebranish amplitudasi A eng katta qiymatga erishadi?
Yechish.Sanoq sistemasining boshi qilib jismning statik muvozanat holatini olamiz. o‘qni vertikal bo‘yicha harakat yo‘nalishi tomon yo‘naltiramiz.
nuqtaga og‘irlik kuchi, qaytaruvchi kuch, qarshilik kuchi hamda uyg‘otuvchi kuch ta’sir qiladi.
nuqtaning harakat differensial tenglamasini tuzamiz:

B u ifodaning har ikki tomonini ga bo‘lib, ni
e’tiborga olsak, u
(1)
ko‘rinishga keladi.
(2)
belgilashlar olinsa, (1) tenglama quyidagicha yoziladi:

(2) ga son qiymatlarni qo‘ysak,
(3)
kelib chiqadi.

1-rasm

Masala shartidagi noma’lumlarni aniqlash uchun (1) differensial tenglamaning echimini aniqlash shart emas.
(3) ko‘ra bundan
bo‘ladi.Bu holda uyg‘otuvchi kuch doiraviy takrorligi formuladan,majburiy tebranish amplitudasining maksimum qiymatga esa quyidagicha aniqlanadi.

kelib chiqadi.