3-ma’ruza chiziqli tenglamalar sistemasi va ularni yechish usullari. Kronekker-Kapelli teoremasi. Chiziqli algebraik tenglamalarni yechishda dasturlar majmuasidan foydalanish

3-MA’RUZA 

 

Chiziqli tenglamalar sistemasi va ularni yechish usullari. Kronekker-Kapelli 

teoremasi. Chiziqli algebraik tenglamalarni yechishda dasturlar majmuasidan 

foydalanish.  

 

Ma’ruza rejasi:   

1. Umumiy tushunchalar.  

2. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Kramer usuli.   

3. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli.  

4. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Teskari matritsa  usuli. 

5. Kroneker- Kapelli teoremasi.

 

 

Chiziqli tenglama deb, 

,

...

2

2

1

1

b

x

a

x

a

x

a

n

n









 

ko‘rinishdagi  tenglamaga  aytiladi,  bu  yerda 

i

a

  va  b  –  sonlar,

i

x

-  noma’lumlar. 

Shunday  qilib,  chiziqli  tenglamaning  chap  tomonida  no’malumlarning  chiziqli 

kombinatsiyasi, o‘ng tomonida esa son turadi.  

Agar 

0



b

    bo‘lsa,  chiziqli  tenglama  bir  jinsli,  aks  holda,  ya’ni 

0



b

  bo‘lsa,  bir 

jinsli bo‘lmagan tenglama deyiladi.  

Chiziqli tenglamalar sistemasi deb quyidagi ko‘rinishdagi sistemaga aytiladi: 







































,

...

....

..........

..........

..........

..........

...

...

2

2

1

1

2

2

2

22

1

21

1

1

2

12

1

11

m

n

mn

m

m

n

n

n

n

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

 

bu erda  

,  - sonlar, 

j

x

- noma’lumlar, n – noma’lumlar soni, m – tenglamalar 

soni         (

n

j

m

i

,

1

;

,

1





). 

Chiziqli  tenglamalar  sistemaining  yechimi  deb  shunday 

  sonlarga 

aytiladiki, bu sonlarni noma’lumlar o‘rniga quyilganda, sistemaning har bir tenglamasi 

o‘rinli tenglikka aylanadi. 

Agar chiziqli tenglamalar sistemasi hech bo‘lmaganda bitta yechimga ega bo‘lsa 

birgalikda  bo‘lgan,  aks  holda,  ya’ni  yechimga  ega  bo‘lmasa,  birgalikda  bo‘lmagan 

tenglamalar sistemasi deyiladi.  

Shuningdek, agar birgalikda bo‘lgan tenglamalar sistemai yagona yechimga ega 

bo‘lsa  aniqlangan,  bittadan  ko‘p  yechimga  ega  bo‘lsa,  aniqlanmagan  tenglamalar 

sistemasi deb yuritiladi.

 

Kramer qoidasi. 

Ikkita chiziqli tenglamalardan iborat ushbu  

11

12

1

21

22

2

,

a x

a y

b

a x

a y

b















   

 

 

 

(1) 

sistema  ikki 

x

  va 

y

  noma’lumli  chiziqli  tenglamalar  sistemasi  deyiladi,  bunda 

11

12

21

22

,

,

,

a

a

a

a

  sonlar  tenglamalar  sistemasining  koeffitsientlari, 

1

b

  va 

2

b

  sonlar  ozod 

hadlar deyiladi.  

(1) sistemaning koeffitsientlaridan ushbu  

11

12

21

22

a

a

a

a

 

  

determinantni,  so’ng  bu  determinantning  birinchi  ustunidagi  elementlarni  ozod  hadlar 

bilan almashtirib 

1

12

2

22

x

b

a

b

a

 

  

determinantni, ikkinchi ustundagi elementlarni ozod hadlar bilan almashtirib 

11

1

21

2

y

a

b

a

b

 

  

determinantlar hosil qilamiz.  

 

Demak,  (1)  sistema  berilgan  holda  har  doim 

,

,

x

y

  

  determinantlarga  ega 

bo’lamiz. 

 

1-Teorema. Aytaylik, ushbu  



11

12

1

21

22

2

,

a x a y b

a x a y b









  

 

 

 

 

(2) 

tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin. Agar 

1) 

0

 

 bo’lsa, u holda (2) sistema yagona 

 

,

x y

 yechimga ega bo’lib,  

,

у

х

х

у













 

bo’ladi; 

2) 

0

 

  bo’lib, 

0,

0

x

y

 

 

bo’lsa,  u  holda  (2)  sistema  yechimga  ega 

bo’lmaydi; 

3) 

0

x

y

     

bo’lsa,  u  holda  (2)  sistema  cheksiz  ko’p  yechimga  ega 

bo’ladi. 

◄  (2)  sistemaning  birinchi  tenglamasini 

22

a

  ga,  ikkinchi  tenglamasini  –

12

a

  ga 

ko’paytirib, so’ng ularni hadlab qo’shib topamiz: 





11

22

12

22

22 1

21 12

12

22

12

2

11

22

12

21

22 1

12

2

,

a a x

a a y

a b

a a x

a a y

a b

a a

a a

x

a b

a b









 

                







 

Keyingi tenglikdan  

х

х

   

,  

ya’ni  

х

х







  

bo’lishi kelib chiqadi.  

Shuningdek, (2) sistemaning birinchi tenglamasini –

21

a

 ga, ikkinchi tenglamasini 

11

a

 ga ko’paytirib, so’ng ularni hadlab qo’shib topamiz: 





11 21

12

21

1 21

11 21

11 22

2 11

11 22

12

21

11 2

21 1

,

.

a a x

a a y

b a

a a x

a a y

b a

a a

a a

у a b

a b





 





                







 

Bu tenglikdan  

у

у

   

,  

ya’ni  

у

у







  

bo’lishi kelib chiqadi.  

 

Shunday qilib berilgan tenglamalar sistemasi quyidagi 

х

у

х

у

   



  



 

ko’rinishga kelib, sistema 

0

 

 bo’lganda yagona yechimga ega bo’lib, 

,

у

х

х

у













 

bo’ladi. 

Shunga o’xshash 

 

0

 

 bo’lganda sistema yechimga ega bo’lmasligi, 

0

х

у

     

 bo’lganda 

sistema cheksiz ko’p echimga ega bo’lishi ko’rsatiladi. ► 

1-misol. Ushbu 

2

3

1

3

5

4

x

y

x

y







  



 

sistema yechilsin. 

◄Bu sistema uchun 

,

,

x

y

  

 larni topamiz: 

2

3

1

3

2

1

10 9 1,

5 12

7,

8 3

5.

3 5

4 5

3

4

x

y

 



 

 

 

 

 

  

 

Demak,  

7

5

7,

5

1

1

у

х

х

у











 



 





  

bo’ladi. ► 

2-misol. Ushbu  

5

2

4,

0,35

1,14

2

x

y

x

y















  

sistema yechilsin.  

◄Bu sistema uchun 

,

,

x

у

  

 larni topamiz: 





 





 

5

2

5

0,14

0,35

2

0, 7 0, 7

0

0,35

0,14

4

2

4

0,14

2

2

0,56 4

0.

2

0,14

х



 

  



   









 

  

    

 



  

Demak, berilgan sistema yechimga ega emas. ► 

Uchta chiziqli tenglamalardan iborat ushbu  









11

12

13

1

21

22

23

2

31

32

33

3

,

,

,

a x

a y

a z

b

a x

a y

a z

b

a x

a y

a z

b



















 

 

 

 

(3) 

sistema  uchta

,

x y

  va 

z

  noma’lumli  chiziqli  tenglamalar  sistemasi  deyiladi,  bunda 

11

12

13

21

22

23

31

32

33

,

,

,

,

,

,

,

,

a

a

a

a

a

a

a

a

а

  sonlar  tenglamalar  sistemasining  koeffitsientlari, 

1

2

3

,

b b ва b

sonlar ozod hadlar deyiladi.  

 

( 3) sistemaning koeffitsientlaridan quyidagi  

11

12

13

21

22

23

31

32

33

a

a

a

a

a

a

a

a

a

 

  

uchinchi  tartibli  determinantni  hosil  qilamiz.  So’ng  bu  determinantning  birinchi, 

ikkinchi  va  uchinchi  ustunlarini  mos  ravishda  ozod  hadlar  bilan  almashtirib  quyidagi 

determinantlarni tuzamiz: 

1

12

13

11

1

13

11

12

1

2

22

23

21

2

23

21

22

2

3

32

33

31

3

33

31

32

3

,

,

.

х

y

z

b

a

a

a

b

a

a

a

b

b

a

a

a

b

a

a

a

b

b

a

a

a

b

a

a

a

b

 

 

 

 

 

Demak, (3) sistema  berilgan holda har doim 

,

,

,

x

y

z

   

 determinantlarga ega 

bo’lamiz. 

 

2-Teorema. Faraz qilaylik,  









11

12

13

1

21

22

23

2

31

32

33

3

,

,

.

a x

a y

a z

b

a x

a y

a z

b

a x

a y

a z

b



















  

tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin. Agar 

1) 

0

 

 bo’lsa, u holda (3) sistema yagona 





, ,

x y z

 yechimga ega bo’lib,  

,

,

у

х

z

х

у

z



















 

bo’ladi; 

2) 

0

 

  bo’lib, 

0,

0

x

y

 

 

bo’lsa,  u  holda  (3)  sistema  yechimga  ega 

bo’lmaydi; 

3) 

0

x

y

z

       

 bo’lsa, u holda (3) sistema cheksiz ko’p yechimga ega 

bo’ladi. 

◄Bu teoremaning isboti 2–teoremaning isboti kabidir. ► 

3-misol. Ushbu  

2

3

5,

2

7,

2

1

x

y

z

x

y

z

x

y

z



 



   





  



 

tenglamalar sistemasi yechilsin. 

 

◄Avvalo sistema koeffitsientlaridan tuzilgan 



 determinantni hisoblaymiz: 

2

3

1

1

1

2

2 12 1 ( 2)

( 4) 3 18

2

1

1



 

 

      



. 

Demak, berilgan sistema yagona yechimga ega. Endi 

,

,

х

у

z

  

 determinantlarni 

hisoblaymiz: 

  



5

3

1

7

1

2

5 6 7

1

10

21 8,

1

1

1

x



 

      







 

                      





2

5

1

1

7

2

14 20 1

14

4 5

38,

2

1

1

y



 





  

  

 

                      





2

3

5

1

1

7

2 42 5 10

14

3

40

2

1 1

z

 

 

 

 

 



. 

 

Unda 

8

4

18

9

х

х











 

38

19

18

9

у

у











 

40

20

18

9

z

z











 

bo’ladi. ► 

 

Yuqorida  keltirilgan  tenglamalar  sistemasining  yechimini  topish  usuli  Kramer 

usuli deyiladi. 

 

Shu usul bilan 

n

 ta chiziqli tenglamalardan tuzilgan 

n

 ta 

1

2

,

,

n

х х

х

 noma’lumli 

tenglamalar sistemasi 











1

12

2

1

1

21 1

22

2

1

2

1 1

2

2

,

,

..............................................

,

n

n

n

n

n

n

n

nn

n

n

a x

a x

a x

b

a x

a x

a x

b

a x

a x

a x

b



 





 





 



 

ni ham yechish mumkin. 

 

Chiziqli tenglamalar sistemasining Gauss usuli 

 

Biz  endi  chiziqli  tenglamalar  sistemasini  yechishning  Gauss  usulini  ko‘rib 

chiqamiz. Bu usulda noma’lumlarni ketma-ket yo‘qotish bilan yechim topildi. 

Bu  usulni  ko‘rishdan  avval  biz  kengaytirilgan  matritsa  usulini  ko‘rib  chiqamiz. 

Bizga n o‘zgaruvchili quyidagi tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin: 

 

Bu sistemaning kengaytirilgan matritsasi deb quyidagi matritsaga aytiladi: 

 

Biz  hozir  berilgan  sistemaning  kengaytirilgan  matritsasi  qanday  qurilishini 

ko‘rsatamiz. Quyidagi sistema berilgan bo‘lsin: 

 

Uning kengaytirilgan matritsasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi: 

 

Kengaytirilgan  matritsani  qurish  uchun  noma’lumlar  koeffitsientlaridan  tuzilgan 

matritsaning  o‘ng  tomoniga  ozod  hadlardan  tuzilgan  yangi  ustun  qo‘shiladi.  Usulning 

asosiy goyasi berilgan sistemani unga teng kuchli bo‘lgan,  lekin yechish oson bo‘lgan 

sistema  bilan  almashtirib,  keyin  hosil  bo‘lgan  sistemani  yechishdan  iborat.  Yangi 

sistema odatda quyidagi amallarni bajarish natijasida bo‘ladigan bir nechta qadamlardan 

keyin hosil bo‘ladi: 

1. 

Tenglamani 0 dan farqli o‘zgarmas songa ko‘paytirish. 

2. 

Ikkita tenglamaning o‘rnini almashtirish. 

3. 

Bir tenglamaga karrali tenglamani ikkinchisiga qo‘shish. 

Kengaytirilgan  matritsaning  satrlari    sistemadagi  tenglamalarga  mos  kelgani 

uchun yuqoridagi uchta amal kengaytirilgan maritsa uchun quyidagicha bo‘ladi: 

1. 

Satrni 0 dan farqli o‘zgarmas songa ko‘paytirish. 

2. 

Ikkita satrning o‘rnini almashtirish. 

3. 

Bir satrga karrali satrni ikkichisiga qo‘shish. 

Bu  amallar  satrlar  ustidaga  elementar  almashtirishlar  deyiladi.  Quyidagi  misolni 

Yechish orqali bu amallarni qanday qo‘llanilishini ko‘rsatamiz.  

4-Misol. Quyidagi tenglama berilgan: 

 

Uning kengaytirilgan matritsasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi: 

 

1 – satr elementlarini -2 ga ko‘paytirib 2- satr mos elementlariga qo‘shsak: 

 

hosil bo‘ladi. 

1 – satr elementlarini -3 ga ko‘paytirib 3- satr mos elementlariga qo‘shsak: 

 

bo‘ladi. 

2- satr elementlarini   ga ko‘paytiramiz: 

 

1- 

satr elementlarini -3 ga ko‘paytirib 3- satr mos elementlariga  qo‘shamiz: 

 

 

2- 

satr elementlarini -2 ga ko‘paytiramiz: 

 

1- 

satr elementlarini -1 ga ko‘paytirib 1- satr mos elementlariga  qo‘shamiz: 

 

3- satr elementlarini  

 ga ko‘paytirib 1-satr  mos elementlariga  qo‘shamiz 

va     ga ko‘paytirib 2- satr mos elementlariga  qo‘shamiz: 

 

Demak, sistemaning yechimi x=1, y=2, z=3. 

Yechimning  kengaytirilgan  matritsasidan  x=1,  y=2,  z=3  ekanligi  ko‘rinib  turadi. 

Matritsani bu shaklga keltirish uchun u quyidagi shartlarni bajarishi kerak: 

1. 

Agar  1-  satr  faqat  0  elementlardan  tashkil  topmagan  bo‘lsa  uning  1- 

elementini  1  ga  tenglab  olamiz.  Buning  uchun  uning  elementlarini  a

11

  ga  bo‘lib 

chiqamiz. 

2. 

Agar qandaydir satrlar faqat 0 lardan iborat bo‘lsa bu satrlar matritsaning 

pastki qismiga joylashtiriladi. 

3. 

Elementlari  0  lardan  iborat  bo‘lmagan  ketma-ket  kelgan  ikkita  satrdan 

quyidagisining  1  ga  teng  elmenti  yuqorisidagining  1  ga  teng  elementidan  1-  ustun 

chapda joylashgan bo‘ladi. 

4. 

1-elementi  mavjud  ixtiyoriy  ustunning  boshqa  elementlari  0  ga  teng 

bo‘ladi. 

Endi kengaytirilgan matritsa ko‘rinishidagi quyidagi sistemalarni quraylik. 

5-Misol.  

 

O‘z-o‘zidan ko‘rinib turibdiki bu sistemaning yechimi x =5, y = -2, z =4 bo‘ladi. 

6-Misol. 

 

Kengaytirilgan matritsani quyidagi tenglamalar sistemasi ko‘rinishida yozamiz: 

 

Kengaytirilgan matritsaning 1 elementiga x

1

, x

2

, x

3 

mos kelgani uchun ularni bazis 

elementlar deb ataymiz. x

4

 esa erkli noma’lum deb ataladi. 

U holda sistemaning yechimi erkli o‘zgaruvchiga nisbatan quyidagicha topiladi: 

 

Bundan ko‘rinib turibdiki erkli o‘zgaruvchi x

4 

ning o‘rniga ixtiyoriy

 qo‘ysak 

bo‘ladi. U holda sistema quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi: 

 

Demak sistema cheksiz ko‘p yechimga ega. 

7-Misol.  

Tenglamalar sistemasini Gauss usulida yeching: 



























11

3

3

2

4

4

9

2

3

z

y

x

z

y

x

z

y

x

. 

Yechish. Gauss usuli berilgan tenglamalar sistemadagi noma’lumlarni ketma-ket 

yo‘qotishdan  iboratdir.  Bu  usulni  qo‘llash  oson  bo‘lishi  uchun  1-chi  va  2-chi 

tenglamalarning o‘rnini almashtiramiz.  



























11

3

3

2

9

2

3

4

4

z

y

x

z

y

x

z

y

x

. 

Endi  2-chi  va  3-chi  tenglamalardan  x  ni  yo‘qotamiz.  Buning  uchun  birinchi 

tenglamani 3 ga ko‘paytirib, ikkinchi tenglamadan, 2 ga ko‘paytirib, 3-chi tenglamadan 

ayiramiz va quyidagiga ega bo‘lamiz:  





























3

11

3

13

4

4

z

y

z

y

z

y

x

. 

2-chi tenglamaga 3-chi tenglamani qo‘shib, 3-chi tenglamadan z ni yo‘qotamiz: 



























0

24

3

13

4

4

y

z

y

z

y

x

. 

Oxirgi tenglamadan 

0



у

 ekanligi kelib chiqadi. Bu qiymatni 2-chi tenglamaga 

qo‘yib z ni aniqlaymiz. Topilgan y va z ni 1-chi tenglamaga qo‘yib topamiz. z=3, x= 1.  

Shunday qilib, x = 1, y = 0, z = 3. 

 

Chiziqli tenglamalar sistemasini teskari matritsa usulida yechish 

 

Chiziqli tenglamalar sistemasinini qaraylik  

                                   (4) 

va quyidagicha belgilashlar kiritaylik: 



























nn

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

...

...

...

...

...

...

...

2

1

2

22

21

1

12

11

- sistemaning matritsasi, 



























n

x

x

x

X

...

2

1

- noma’lumlar ustuni,



























n

b

b

b

B

...

2

1

- ozod hadlar ustuni. U holda (4) sistemani 

matritsaviy tenglama ko‘rinishida quyidagicha yozish mumkin:  

1

1

11 1

12

2

1

2

2

21 1

22

2

2

1 1

2

2

.

n

n

n

n

m

n

m

m

mn

n

a

x

a x

a x

a x

a

x

a x

a x

a x

A x

a

x

a x

a x

a x



 



   





   





 



   











   





   





 



   



                          

(5) 

AX = B.                                         

Faraz  qilaylik

А

  -  xosmas  matritsa  bo‘lsin,  u  holda  unga  teskari 

1



A

  matritsa 

mavjud bo‘ladi. (5) tenglamaning har ikki tomonini 

1



A

 ga chapdan ko‘paytiraylik.  

.

1

1

B

A

AX

A







 

Ma’lumki 

,

1

E

A

A





 u holda 

B

A

EX

1





, 

X

EX



 ekanligidan 

.

1

B

A

X





 

Shunday qilib, (5) – matritsaviy tenglamaning yechimi, 

А

 matritsaga teskari 

matritsaning (4) sistemaning ozod hadlaridan iborat ustun matritsaga ko‘paytmasiga 

teng ekan. 

 

Chiziqli tenglamalar sistemasini tekshirish. 

Kroneker- Kapelli teoremasi. 

 

Bizga n o‘zgaruvchili quyidagi tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin: 

                            (6) 

Bu sistemaning kengaytirilgan matritsasi deb quyidagi matritsaga aytiladi: 

                                 (7)

 

 

     Yuqorida  qaralgan  noma’lumlari  soni  n  ta,  tenglamalari  soni  m  ta 

bo‘lgan 

(6) 

sistemani 

qaraylik. 

Uning 

koeffitsentlaridan 

tuzilgan 

(7) 

matritsa 

va 

ozod 

hadlar 

qo‘shilishidan 

hosil 

bo‘lgan 

kengaytirilgan 

matritsani qaraylik 

 

,     

 

Ravshanki rangA ≤ rangB. 

 

 

 

 

 

Isbot. 

Zarurligi.

  (6)  sistema  birgalikda  va  x

1

=k

1

,  x

2=

k

2

,...,  x

n=

k

n 

va  yechimga  ega 

bo‘lsin, uholda quyidagi tengliklar to‘g‘ri bo‘ladi. 

3-Teorema. 

(Kroneker-Kapelli). 

Yuqoridagi 

(6) 

chiziqli 

tenglamalar 

sistemasi  birgalikda  bo‘lishi  uchun  bu  sistema  matritsasi  va  kengaytirilgan 

matritsalar ranglari teng bo‘lishi zarur va etarli. 

 

 

B  matritsaning  1-  ustunini  k

1 

ga,  2-  ustunini  k

2 

ga  va  hokazo  n  ustunini  k

n 

ga 

ko‘paytirib oxirgi ustunidan ayiramiz va B ga ekvivalent matritsa hosil qilamiz 

 

Bu  matritsaning  oxirgi  ustunini  o‘chirish  bilan  A  matritsaga  kelamiz.  Buning 

elementar almashtirishligini e’tiborga olsak:    rangA=rangB. 

Yetarliligi.

 

rangA=rangB 

bo‘lsin.  U  holda  A  matritsadagi  chiziqli 

bog‘liq  bo‘lmagan  maksimal  sondagi  ustunlar  B  matritsada  ham  chiziqli 

bog‘liq  bo‘lmaydi.  Demak  shunday  k

1

,  k

2

,...,  k

n 

koeffitsentlar  topiladiki,  B 

matritsaning 

oxirgi 

ustuni 

bu 

koeffitsentlarning 

A 

matritsa 

ustunlari 

bilan  ko‘paytmasining  yig‘indisiga  teng.  B  matritsaning  oxirgi  ustuni  (6) 

sistemaning  oxirgi  ustuni  ekanligini  hisobga  olsak,  Bu  koeffitsentlar  (6) 

sistemaning  yechimi  bo‘ladi.  Demak  A  va  B  matritsalar  rangining  tengligi  bu 

sistemaning 

birgalikda 

ekanligini 

keltirib 

chiqaradi. 

Teorema 

isbot 

bo‘ldi. 

Agar  rangA=rangB=n  bo‘lsa  tenglamalar  soni  noma’lumlar  soniga  teng 

bo‘lib sistema yagona yechimga ega bo‘ladi. 

rangA=rangB=k

bo‘lib  k

1

,  k

2

,...,  k

k 

noma’lumlar  erkli  o‘zgaruvchi  k

k+1

,  k

k+2

,...,  k

n 

lar  orqali 

ifodalanadi  va  sistema  cheksiz  ko‘p  yechimga  ega  bo‘ladi.  Agar  A  va 

kengaytirilgan  B  matritsalar  ranglari  teng  bo‘lmasa,  sistema  yechimga  ega 

bo‘lmaydi.  

Agar  (6)  sistemada  b

1

  =b

2

=...  =b

n

=0  bo‘lsa  sistema  bir  jinsli  deb 

ataladi. 

 

Bu  systema  doimo  birgalikda,  chunki  kengaytirilgan  B  matritsa  A 

matritsadan  elementlari  noldan  iborat  oxirgi  ustun  bilan  farq  qiladi  va 

rangA=rangB.  Agar  rangA=n  bo‘lsa  sistema  yagona  x

1

  =0,  x

2

  =0,...,  x

n

=0  yechimga 

ega.  rangA  bo‘lgan  holda  (9)  sistema  noldan  farqli  yechimga  ham  ega  bo‘ladi. 

Yuqoridagi  sistema  nolmas  yechimga  ega  bo‘lishi  uchun  bu  sistemaning 

asosiy  determinanti  nolga  teng  bo‘lishi  kerak,  bu  tasdiq  rangA  ga  teng 

kuchli bo‘ladi. 

 

Ma’vzu yuzasidan savollar 

1.   Chiziqli tenglamalar sestimasi deganda nimani tushunasiz? 

2.  Chiziqli tenglamalar sestimasini yechishda teskari matritsa usulidan fodalanish 

uchun qanday shart bajarilishi kerak? 

3.  Chiziqli tenglamalar sestimasini yechishning Kramer usuli deganda nimani 

tushunasiz? 

4.  Chiziqli tenglamalar sestimasini yechishda matritsa rangi qanday vazifa bajaradi?  

5.  Chiziqli tenglamalar sestimasini yechishda Gauss usulini ating?