3-ma’ruza Ikkinchi tur egri chiziqli integrallar

1-natija. Ikkinchi tur egri chiziqli integral egri chiziqning yo’nalishiga bog’liq bo’ladi. Shuni isbotlaylik
Ma’lumki, egri chiziqda ikkita yo’nalish ( nuqtadan nuqtaga va nuqtadan nuqtaga) olish mumkin ( , , ).
egri chiziqning yuqoridagi bo’laklashni olib, bu bo’laklashga nisbatan (1) yig’indini tuzamiz:
.
Aytaylik, da bu yig’indi chekli limitga ega bo’lsin:
.
Endi ning usha bo’laklashini hamda har bir dagi usha nuqtalarni olib, egri chiziqning yo’nalishini esa dan ga qarab deb ushbu yig’indini tuzamiz:

da bu yig’indi chekli limitga ega bo’lsa, u ta’rifga binoan ushbu

integral bo’ladi:
.
Agar

ekanligini e’tiborga olsak, u holda da yig’indining chekli limitga ega bo’lishi­dan yig’indining ham chekli limitga ega bo’lishi va tenglikning bajarilishini topa­miz. Demak,
.
Xuddi shunga o’xshash

bo’ladi.
2-natija. egri chiziq o’qiga ( o’qiga) perpendikulyar bo’lgan to’g’ri chiziq kesmasidan iborat bo’lib, funksiya shu chiziqda berilgan bo’lsin.
U holda

mavjud va

bo’ladi.
Bu tenglik bevosita ikkinchi tur egri chiziqli integral ta’rifidan kelib chiqadi.
Endi -sodda yopiq egri chiziq bo’lsin, ya’ni va nuqtalar ustma-ust tushsin. Bu yopiq chiziqni deb belgilaylik. Bu sodda yopiq chiziqda ham ikki yo’nalish bo’ladi. Ularning birini musbat yo’nalish, ikkinchisini manfiy yo’nalish deb qabul qilaylik. Shunday yo’nalishni musbat deb qabul qilamizki, kuzatuvchi yopiq chiziq bo’ylab harakat qilganda, yopiq chiziq bilan chegaralangan soha unga nisbatan har doim chap tomonda yotsin.
Faraz qilaylik, sodda yopiq chiziqda funksiya berilgan bo’lsin. Bu chiziqda ixtiyoriy ikkita turli nuqtalarni olib, ularni va bilan belgilaylik. Natijada, yopiq chiziq ikkita va chiziqlarga ajraladi (1-chizma).

1-chizma
Ushbu

integral (agar u mavjud bo’lsa) funksiyaning yopiq chiziq bo’yicha ikkinchi tur egri chiziqli integrali deb ataladi va
yoki
kabi belgilanadi. Bunda yopiq chiziqning musbat yo’nalishi olingan. (Bundan buyon yopiq chiziq bo’yicha olingan integrallarda, yopiq chiziq musbat yo’nalishda deb qaraymiz). Demak,
.
Xuddi shunga o’xshash

hamda, umumiy holda

integrallar ta’riflanadi.
fazoviy egri chiziq bo’lib, bu chiziqda funksiya berilgan bo’lsin. Yuqoridagidek, funksiyaning egri chiziq bo’yicha ikkinchi tur egri chiziqli integrallari ta’riflanadi va ular
, ,
kabi belgilanadi. Umumiy holda, , , funksiyalar berilgan bo’lib, ushbu
, ,
integrallar mavjud bo’lsa,

yig’indi ikkinchi tur egri chiziqli integralning umumiy ko’rinishi deb ataladi va u

kabi belgilanadi. Demak,

.