3-ma’ruza Ikkinchi tur egri chiziqli integrallar

3-ma’ruza
Ikkinchi tur egri chiziqli integrallar
Reja
1. Ikkinchi tur egri chiziqli integrallar ta’rifi
2. Uzluksiz funksiya ikkinchi tur egri chiziqli integrali
3. Ikkinchi tur egri chiziqli integralning xossalari
1. Ikkinchi tur egri chiziqli integrallar ta’rifi. Tekislikda biror sodda egri chiziqni qaraylik. Bu egri chiziqda funksiya berilgan bo’lsin. egri chiziqning

bo’laklanishini va uning har bir yoyida ixtiyoriy nuqtani olaylik. Berilgan funksiyaning nuqtadagi qiymatini ning o’qidagi proeksiyasiga ko’paytirib quyidagi yig’indini tuzamiz:
. (1)
Endi egri chiziqning shunday
(2)
bo’laklari ketma-ketligini qaraymizki, ularning diametrlari­dan tashkil topgan mos

ketma-ketlik nolga intilsin:
.
Bunday bo’laklashlarga nisbatan (1) kabi yig’indilarni tuzib ushbu
( )
ketma-ketlik hosil qilamiz.
1-ta’rif. Agar egri chiziqning har qanday (2) ko’rinishdagi bo’laklashlari ketma-ketligi olinganda ham, unga mos yig’indilardan iborat ketma-ketlik nuqtalarning tanlab olinishiga bog’liq bo’lmagan ravishda hamma vaqt bitta songa ( songa) intilsa, bu son yig’indining limiti deb ataladi va
(3)
kabi belgilanadi. yig’indining bu limitini quyidagicha ham ta’riflash mumkin.
2-ta’rif. Agar olinganda ham, shunday topiladiki, egri chiziqning diametri bo’lgan har qanday bo’laklash uchun tuzilgan yig’indi ixtiyoriy nuqtalarda ,

tengsizlikni bajarsa, son ( son) yig’indining ( yig’indining) dagi limiti deb ataladi va (3) kabi belgilanadi.
Yig’indi limitining bu ta’riflari ekvivalent ta’riflardir.
3-ta’rif. Agar da yig’indi ( yig’indi) chekli li­mitga ega bo’lsa, funksiya egri chiziq bo’yicha integ­ral­lanuvchi deyiladi. Bu limit funksiyaning egri chiziq bo’yicha ikkinchi tur egri chiziqli integrali deb ataladi va u

kabi belgilanadi. Demak,
,
.
Shunday qilib, egri chiziqda berilgan funksiyadan ikkita o’qidagi proeksiyalar vositasida va o’qidagi proeksiyalar vositasida olingan ikkinchi tur egri chiziqli integral tushunchalar kiritildi.
Faraz qilaylik, egri chiziqda ikkita va funksiyalar berilgan bo’lib, , lar esa ularning ikkinchi tur egri chiziqli integrallari bo’lsin. Ushbu

yig’indi ikkinchi tur egri chiziqli integralning umumiy ko’rinishi deb ataladi va

kabi yoziladi. Demak,
.
Ikkinchi tur egri chiziqli integral ta’rifidan quyidagi natijalar kelib chiqadi.