3-ma’ruza Ikkinchi tur egri chiziqli integrallar

2. Uzluksiz funksiya ikkinchi tur egri chiziqli integrali. Faraz qilaylik, egri chiziq ushbu
(4)
sistema bilan (parametrik ko’rinishda) berilgan bo’lsin. Bunda funksiya da hosilaga ega va bu hosila shu oraliqda uzluksiz, funksiya ham da uzluksiz hamda va bo’lsin.
parametr dan ga qarab o’zgarganda nuqta dan ga qarab ni chiza borsin.
1-teorema. Agar funksiya da uzluksiz bo’lsa, u holda bu funksiyaning egri chiziq bo’yicha ikkinchi tur egri chiziqli integrali

mavjud va

bo’ladi.
Isbot. oraliqning
,
bo’laklashini olaylik. Bu bo’laklashning bo’luvchi nuqtalari ning dagi mos akslarini deylik . Ravshanki, bu nuqtalar egri chiziqning

bo’laklashini hosil qiladi. Bundan bo’ladi. Bu bo’laklashga nisbatan (1) yig’indini

tuzamiz. Keyingi tenglikda ning o’qdagi proeksiyasi

ga tengdir.
Lagranj teoremasidan foydalanib topamiz:
.
Ma’lumki, , . Agar bu nuqtaga akslanuvchi nuqtani deyilsa, unda
,
bo’ladi. Natijada yig’indi quyidagi ko’rinishga keladi:
(5)
Endi da (bu holda ham nolga intiladi) yig’indining limitini topish maqsadida uning ifodasini o’zgartirib quyidagicha yozamiz:
.(18.14)
Bu tenglikning o’ng tomonidagi ikkinchi qo’shiluvchini baholaymiz:

bunda
.
funksiya da uzluksiz. U holda Kantor teoremasining natijasiga ko’ra, olinganda ham shunday topiladiki, oraliqning diametri bo’lgan har qanday bo’linish uchun

bo’ladi. Unda

Demak,

bo’ladi. Bu munosabatni e’tiborga olib, (5) tenglikda da limitga o’tib quyidagini topamiz:
.
Demak,
.
Endi (4) sistemada funksiya ham da hosilaga ega va bu hosila shu oraliqda uzluksiz bo’lsin.
2-teorema. Agar funksiya da uzluksiz bo’lsa, u holda bu funksiyaning egri chiziq bo’yicha olingan ikkinchi tur egri chiziqli integrali

mavjud va

bo’ladi.
Bu teorema yuqoridagi 3-teorema kabi isbotlanadi.
Yuqoridagi teoremalar, bir tomondan, uzluksiz funksiya ikkinchi tur egri chiziqli integralining mavjudligini aniqlab bersa, ikkinchi tomondan, bu integral aniq integral (Riman integrali) orqali ifodalanishini ko’rsatadi.
egri chiziq (4) sistema bilan berilgan bo’lib, , funksiyalar da , hosilalarga ega va u bu hosilalar uzluksiz bo’lsin.
Agar egri chiziqda ikkita va funksiyalar berilgan bo’lib, ular shu chiziqda uzluksiz bo’lsa, u holda

bo’ladi.
3. Ikkinchi tur egri chiziqli integralning xossalari. Yuqorida keltirilgan teoremalar uzluksiz funksiyalarning ikkinchi tur egri chiziqli integrallarini, bizga ma’lum bo’lgan aniq integral-Riman integrallariga kelishini ko’rsatadi. Binobarin, bu egri chiziqli integrallar Riman integrallari xossalari kabi xossalarga ega bo’ladi. O’tgan paragrafda esa xuddi shunday mulohaza birinchi tur egri chiziqli integrallarga nisbatan bo’lgan edi. Shularni e’tiborga olib, ikkinchi tur egri chiziqli integrallarning xossalarini keltirishni va tegishli xulosalar chiqarishni o’quvchiga havola etamiz.