3-ma’ruza. Mavzu: Funksiya va uning berilish usullari, funksiyalarning juft-toqligi. Funksiyaning limiti, limitlar haqida teoremalar, ajoyib limitlar. Funksiya hosilasining ta’rifi

Ta’rif :Agar bo’lsa, u holda ga cheksiz kichik miqdor deyiladi.
Masalan : a) = ; b) = ;
Ta’rif : Agar 0 son olinganda ham shunday natural n₀ son topilsaki , nn₀ uchun  bo’lsa ga cheksiz katta miqdor deyiladi.
Endi ba’zi sodda ketma- ketliklarning limitlarini hisoblashni o`rganamiz:
Misol-1 :
Bu yerda ;
Misol –2:
Misol –3 : ;
Monoton ketma- ketliklar. Bir tomonlama limitlar .
=e.
Bizga x_1,x₂,…,x_n,… sonli ketma –ketliklar berilgan bo’lsin.
Agar (x_n) ketma –ketlikning ikkinchi hadidan boshlab xar bir hadi o’zidan oldingi haddan katta bo’lsa ,ya’ni har qanday natural son n uchun x_n+1 x_n tensizlik bajarilsa, (x_n) ketma –ketlik o’suvchi ketma –ketlik deyiladi.
Agar (x_n) ketma –ketlikning ikkinchi hadidan boshlab har bir hadi o’zidan oldingi haddan kichik bo’lsa, ya’ni har qanday natural n uchun x_n+1 x_n tensizlik bajarilsa, (x_n) ketma –ketlik kamayuvchi ketma –ketlik deyiladi.
O’suvchi, kamayuvchi ,o’smaydigan va kamaymaydigan ketma –ketliklar monoton ketma-ketliklar sinfini tashkil qiladi.
O’suvchi va kamayuvchi ketma- ketliklar qatiy monoton ketma –ketliklar deyiladi.
( x_n) - biror cheksiz sonli ketma ketlik bo’lsin.
Agar har qanday kichik musbat son  uchun shunday N₀ nomer mavjud bulsaki , (x_n) ketma –ketlikning nomeri N₀ dan katta bo’lgan barcha hadlari  tensizlikni qanoatlantirsa , u holda a soni (x_n) ketma –ketlikning limiti deyiladi va bunday yoziladi . .
Agar a soni (x_n) ketma – ketlikning limiti bo’lsa u holda (x_n) ketma – ketlik a soniga yaqinlashuvchi yoki a soni uning limiti deyiladi.
Chekli limitga ega bo’lmagan ketma – ketliklar uzoqlashuvchi ketma – ketliklar deyiladi.
Agar har qanday musbat son uchun shunday N₀ nomer mavjud bo’lsaki, ketma – ketlikning x_{N +1} hadidan boshlab hamma hadlari a sonining  atrofiga tegishli bo’lsa, a soni (x_n) sonli ketma – ketlikning limiti deyiladi.
Agar har qanday musbat  son uchun  ga bog’lik bo’lgan shundayδ musbat son mavjud bo’lib 0 δ tensizlikni qanoatlantiruvchi barcha x(a,b) larda  tensizlik bajarilsa , A soni f(x) funksiyaning x₀ ga intiluvchi x qiymatida shu funksiyaning limiti deyiladi .
Limitlar nazariyasida quyida keltirilgan limitlar muhim o’rin tutadi , ular yerdamida ko’pgina elementar funksiyalarning limitlari hisoblanadi:
1.
2.
3. ,
4. ,
Ta’rif: Agar har qanday musbat  son uchun  ga bog’lik bo’lgan  musbat son mavjud bo’lib , 0  tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha x larda  tengsizlik bajarilsa A soni f(x) funksiyaning x₀ ga intiluvchi x qiymatida shu funksiyaning limiti deyiladi, va quyidagicha belgilanadi: ;