3-Ma’ruza Mavzu: Tеkislikda elеmеntar to‘plamlar va ularning o‘lchоvi. Tеkislikdagi to‘plamning tashqi o‘lchоvi va uning хоssalari. Reja
Download 1.08 Mb.
|
3-ma\'ruza Tekislikda elementar to\'plam o\'lchovi
5-ta’rif. Bizga A ⊂ E to‘plam berilgan bo‘lsin. Agar ixtiyoriy ε > 0
uchun shunday B ⊂ E elementar to‘plam mavjud bo‘lib, µ*(A∆B) < ε tengsizlik bajarilsa, u holda A Lebeg ma’nosida o‘lchovli to‘plam deyiladi. Agar A Lebeg ma’nosida o‘lchovli to‘plam bo‘lsa, uning o‘lchovi deb tashqi o‘lchovini qabul qilamiz. bilan E ning barcha o‘lchovli qism to‘plamlaridan tashkil topgan sistemani belgilaymiz. µ bilan to‘plam funksiyasining dagi qismini belgilaymiz, ya’ni ixtiyoriy uchun µ(A) = µ*(A). Aniqlanish sohasi bo‘lgan µ to‘plam funksiyasi Lebeg o‘lchovi deyiladi. Shunday qilib, o‘lchovli to‘plamlar sistemasi va unda Lebeg o‘lchovi µ aniqlandi. Bizning asosiy maqsadimiz o‘lchovli to‘plamlar sistemasi ni chekli yoki sanoqli sondagi to‘plamlarning birlashmasi va kesishmasiga nisbatan yopiqligini ko‘rsatishdan, ya’ni ning σ algebra tashkil qilishini isbotlashdan iborat. 2-eslatma. Agar (7) tenglikda aniq quyi chegara A to‘plamni qoplovchi barcha elementar to‘plamlar bo‘yicha olinsa, A to‘plamning Jordan ma’nosidagi tashqi o‘lchovi hosil bo‘ladi, u j*(A) bilan belgilanadi, ya’ni Ushbu miqdor A to‘plamning Jordan ma’nosidagi ichki o‘lchovi deyiladi. Agar j*(A)=j*(A) bo‘lsa, u holda A Jordan ma’nosida o‘lchovli to‘plam deyiladi. Shuni ta’kidlash joizki, agar A Jordan ma’nosida o‘lchovli to‘plam bo‘lsa, u Lebeg ma’nosida ham o‘lchovli to‘plam bo‘ladi va bu o‘lchovlar o‘zaro teng bo‘ladi. Hozir biz Lebeg ma’nosida o‘lchovli, ammo Jordan ma’nosida o‘lchovli bo‘lmagan to‘plamga misol keltiramiz. 1-misol. A ⊂ E birlik kvadratdagi barcha ratsional koordinatali nuqtalar to‘plami bo‘lsin. Uning Lebeg ma’nosida o‘lchovli, ammo Jordan ma’nosida o‘lchovli emasligini isbotlang. Isbot. A va E\A to‘plamlar E da zich bo‘lganligi uchun j*(A)=1, j*(E\A)=1 tengliklar o‘rinli. Bu yerdan j*(A)=0 va j*(A)≠ j*(A). Demak, A to‘plam Jordan ma’nosida o‘lchovli emas. Ma’lumki, A sanoqli to‘plam, shuning uchun uning elementlarini (xk, yk), k ∈ ℕ ko‘rinishda nomerlab chiqish mumkin. Shunday ekan, Ikkinchi tomondan ixtiyoriy k ∈ ℕ uchun m(Pk) = 0. Bu yerdan µ*(A) = 0 ekanligi kelib chiqadi. Shuni ta’kidlash lozimki, tashqi o‘lchovi nolga teng bo‘lgan har qanday to‘plam o‘lchovli to‘plamdir. Buning uchun elementar to‘plam sifatida B = ∅ ni olish yetarli: µ*(A∆B) = µ*(A∆∅) = µ*(A) = 0 < ε. Demak, A Lebeg ma’nosida o‘lchovli to‘plam. Shunday qilib, A Lebeg ma’nosida o‘lchovli bo‘lgan, lekin Jordan ma’nosida o‘lchovli bo‘lmagan to‘plamga misol bo‘ladi. Download 1.08 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling