3-Ma’ruza: N. I. Lobachevskiy va uning geometriyasi

3-Ma’ruza: N. I. Lobachevskiy va uning geometriyasi.

Sakkeri, Lambert va Lejandr ishlari
XVIII asrga kelib beshinchi postulatni isbotlash uchun quyidagi prinsip
asosida ish tutildi: beshinchi postulat uni inkor etuvchi jumla (faraz) bilan almashtirilib, xosil qilingan yangi sistema asosida mantiqiy xulosalar chiqarila boshlandi. Bu vaqtda beshinchi postulat bilan birga bu faraz asosida chiqarilgan xulosalar orasida ertami-kechmi zidlik paydo bo’ladi, yani bir-birini inkor etuvchi kamida ikkita jumla vujudga keladi. Xuddi shu usul bilan beshinchi postulatni isbotlashga Sakkeri, Lambert va Lejandr urinib ko’rishgan. Italialik olim Sakkeri (1667-1733) muxokamalarida
asosidagi ikkita burchagi to’g’ri va yon tomonlari teng bo’lgan to’rtburchak olingan. (Bunday to’rtburchak odatda Xayyom-Tusiy-Sakkeri to’rtburchagi deb yuritiladi, chunki xuddi shunday to’rtburchakni XI asrda Xayyom, keyinchalik al-Tusiy xam tekshirgan.) U bunday to’rt burchakning qolgan ikkita burchagining tengligini osongina isbotlab, ularning kattaligi xaqida uchta gipotizani quyadi: 1) o’tmas burchak; 2)to’g’ri burchak; 3) o’tkir burchak. O’tmas burchak gipotezasini qabul qilib, undan natijalar chiqara borish bilan zidlikka uchraydi, shuning uchun bu gipotezani qaramaydi. To’g’ri burchak gipotezasini tekshirib, uning beshinchi postulatga ekvivalentligini isbotlaydi. Nihoyat, o’tkir burchak gipotezasini qabul qilib, undan mantiq qonunlari asosida natijalar chiqara boshlaydi. Sakkeri bu gipotezani zidlikka uchratish uchun ko’p harakat qiladi, chunki o’tkir burchak gipotezasi xam zidlikka uchrasa, faqat to’g’ri burchak gipotezasi o’rinli bo’lib, beshinchi postulatni teskarisidan isbotlash usuli bilan isbotlashga muvaffaq bo’lgan bo’lar edi. O’tkir burchak gipotezasini qabul qilib, Sakkeri quyidagi teoremalarni isbotlashga erishadi:
Bitta to’g’ri chiziqqa o’tkazilgan perpendikular va og’ma to’g’ri
chiziqlar o’zaro doimo kesishavermaydi.
Tekislikda to’g’ri chiziq tashqarisida olingan nuqtadan bu to’g’ri chiziq
bilan kesishmaydigan kamida ikkita to’g’ri chiziq o’tkazish mumkin.
Tekislikda to’g’ri chiziqdan bir xil masofada yotgan nuqtalarning geometric o’rni egri chiziqdir va xokazo.
Bu jumlalar Evklid geometriyasida o’rinli emas, albatda. Evklid geometriyasidan boshqa geometriyani bo’lishi mumkun emas” degan fikrga qat’iy ishongan Sakkeri o’tkir burchak gipotezasini zidlikka uchratishga xarakat qilib, xisoblashda ba’zi xatolarga yo’l qo’yish bilan bunga erishadi.
Nemis matematigi Lambertni (1728-1777) beshinchi pastulat bo’yicha ish olib brogan Sakkeri ishining davomchisi desa bo’ladi. U 1766- yilda yozgan “Paralel to’g’ri chiziqlar nazariyasi” nomli asarida, ikkita burchagi emas balki uchta burchagi to’g’ri burchakdan iborat bo’lgan to’rtburchakni tekshiradi. Shunday shunday to’rtburchakning to’rtinchi burchagining kattaligi haqida Lamberd uchta gepotezani qo’yadi: 1)o’tmas burchak; 2)to’g’ri burchak; 3)o’tkir burchak. Sakkeriga o’xshash, Lamberd o’tkir burchak gepotizasidan mantiqiy xulosalar chiqara borib, Sakkeri olgan natijalarga keladi, xatto unga qo’shimcha tariqada quyidagilarni ham o’rinli ekanligini isbotlaydi:
Uchburchakning burchaklarining yig’indisi yoyiq burchakdan kichik.
Uchburchakning yuzi uning nuqsoniga, ya’ni [2d-(α+β+γ)] ga proportsional.
Lambert o’tkir burchak gepotezasini ham yana chuqurlashtrib borib, hech qanday zidlikka kela olmaydi, demak o’tkir burchak gepotezasini inkor qila olmadi. Lekin, sfera ustida to’g’ri chiziqlar rolini bajaruvchi katta aylanalar olinsa, o’tmas burchak gipotezasi shu sfera ustida o’rinli bo’lishini birin- chi bor Lambert sezgan , shundan so’ng o’tkir burchak gipotezasi “qandaydir mavhum sfera ustida o’rinli bo’lish kerak” degan xulosaga keladi. (Bu faktning to’g’riligini bobda ko’ramiz). Matematikaning ko’pgina soxalarida yirik ishlari bilan mashur bo’lgan fransuz olimi Lejandr (1752-1833) 1794-yili “Geometriya negizlari” nomli asarini yozdi. Bu kitob Yevklidning “Negizlar” asari o’rniga yaratilgan asar bo’lib, faqat fransiyada emas, balki boshqa mamlakatlarda xam katta obro’ qozongan. Bu kitobning Yevklidning “Negizlar”dan farqi shunda ediki, ba’zi isbotlar soddalashtirilgan bo’lib, o’qish ancha osonlashtirilgan, bundan tashqari geometriya asoslariga katta e’tibor berilib, parallellar nazaryasiga mufassal to’xtalgan. Lejandr to’rtburchakning emas, balki uchburchak ichki burchaklarining yig’indisi xaqida uchta gipoteza qo’yadi, ya’ni uchburchak ichki burchaklari yig’indisi: 1) dan katta; 2) 180 ga teng; 3) 180 dan kichik. Ikkinchi gipotezaning beshinchi postulatga ekvivalentligini isbotlaydi (uning isboti bilan biz 5-§da tanishganmiz). Lejandr birinchi va uchinchi gipotezalarni tekshirib, quydagi teoremalarni isbotlaydi.
1.Har qanday uchburchak ichki burchaklarining yig’indisi 180 dan katta bo’la olmaydi. Shu bilan birinchi gipotezani yo’qqa chiqardi.
2.Agar birorta uchburchak ichki burchaklarning yig’indisi 180 dan kichik bo’lsa, qolgan har qanday uchburchak ichki burchaklarining yig’indisi ham 180 dan kichik bo’ladi.
Bu teoremani Lejandr mantiqiy jihatdan bekam-ko’st isbotlaydi. Lekn uchinchi gipotezani ham zidlikka uchratish uchun, ya’ni beshinchi postulat isbotiga erishish maqsadida unga ayoniy jihatdan to’g’ri tuyulgan “bitta to’g’ri chiziqqa o’tkazilgan og’ma va perpendikulyar doimo kesishadi” yoki “ o’tkir burchak ichida olingan ixtiyoriy nuqtadan bu burchakning ikkala tomonini kesadigan to’g’ri chiziqni doimo o’tkazish mumkin” iboralarni kiritadi. Buning natijasida u beshinchi postulatni isbotladim deb da’vo qiladi.
Demak, Sakkeri, Lambert va Lejandrlar beshinchi postulat inkorini olib, uni zidlikka uchratish yo’li asosida ish olib boradilar. Bu yo’l noyevklid geometriyaning yaratilishiga ilk qadam edi.