3-ma'ruza. Qism gruppalar. Siklik gruppalar

Yetarlilik. Endi, ixtiyoriy a, b ∈ H elementlar uchun a ∗ b⁻¹ ∈ H munosabat o‘rinli bo‘lsin. Agar b = a deb olsak, u holda a ∗ a⁻¹ = e ∈ H. Demak, e birlik
element H to‘plamga tegishli bo‘ladi. Endi a element o‘rniga e elementni olib, ixtiyoriy b ∈ H element uchun e ∗ b⁻¹ ∈ H, ya’ni b⁻¹ ∈ H munosabatni hosil qilamiz. Demak H to‘plamda yotuvchi ixtiyoriy elementning teskarisi ham H da yotadi. Endi a ∗ b⁻¹ ∈ H munosabatda, b ∈ H element o‘rniga b⁻¹ ∈ H elementni qo‘ysak, a ∗ (b⁻¹)⁻¹ = a ∗ b ∈ H ekanligi hosil bo‘ladi. Bundan esa, (H, ∗) qism gruppa ekanligi kelib chiqadi.
Berilgan H qism to‘plam chekli bo‘lgan holda quyidagi natijaga ega bo‘lamiz. 3.1-natija. (G, ∗) gruppa va uning bo‘sh bo‘lmagan H ⊂ G chekli qism to‘plami berilgan bo‘lsin. Agar ∀a, b ∈ H elementlar uchun a ∗ b ∈ H munosabat o‘rinli bo‘lsa, u holda (H, ∗) qism gruppa bo‘ladi.
Isbot. Natijaning shartidan ixtiyoriy a ∈ H element va ixtiyoriy n ∈ N uchun aⁿ ∈ H o‘rinli ekanligi hosil bo‘ladi, ya’ni a ∈ H elementning ixtiyoriy natural darajasi yana H ga tegishli. H to‘plam chekli to‘plam bo‘lganligi uchun {a, a², . . . , a^k, . . . } elementlarning ichida o‘zaro tenglari mavjud, aks holda H ning elementlari cheksiz ko‘p bo‘lar edi. Demak, qandaydir m va k (m > k) natural sonlar topilib, a^m = a^k tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu tenglikdan e = a^m−k ∈ H ekanligini, ya’ni gruppaning birlik elementi H to‘plamda yotishini hosil qilamiz.
Endi H dagi barcha elementlarning teskarisi ham H da yotishini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy a ∈ H element uchun a^m−k = e ekanligidan a ∗ a^m−k−1 = a^m−k−1 ∗ a = e tenglikka ega bo‘lamiz, ya’ni a elementning teskarisi a⁻¹ = a^m−k−1 ∈ H. Demak, (H, ∗) qism gruppa bo‘lar ekan.
3.2-ta’rif. (G, ∗) gruppaning markazi deb
Z(G) = {b ∈ G | a ∗ b = b ∗ a, ∀a ∈ G}
to‘plamga aytiladi.
3.2-teorema. (G, ∗) gruppaning markazi uning kommutativ qism gruppasi bo‘ladi.
Isbot. Ixtiyoriy a ∈ G element uchun e ∗ a = a ∗ e ekanligidan e ∈ Z(G) kelib chiqadi. Demak, Z(G) bo‘sh bo‘lmagan to‘plam. Aytaylik, b, c ∈ Z(G) bo‘lsin, ya’ni b∗a = a∗b, c∗a = a∗c tengliklar ∀a ∈ G uchun o‘rinli bo‘lsin. Bundan esa, a∗c⁻¹ = c⁻¹ ∗a tenglik ham ∀a ∈ G uchun o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. Quyidagi
a ∗ (b ∗ c⁻¹) = (a ∗ b) ∗ c⁻¹ = (b ∗ a) ∗ c⁻¹ = b ∗ (a ∗ c⁻¹) = b ∗ (c⁻¹ ∗ a) = (b ∗ c⁻¹) ∗ a tenglikdan esa b ∗ c⁻¹ ∈ Z(G) ekanligini hosil qilamiz. Demak, Z(G) qism gruppa bo‘lib, uning kommutativ ekanligi esa ta’rifdan bevosita kelib chiqadi.
Quyidagi teoremada berilgan gruppaning qism gruppalari kesishmasi yana qism gruppa bo‘lishi ko‘rsatiladi.
3.3-teorema. (G, ∗) gruppaning ixtiyoriy sondagi qism gruppalari kesishmasi yana qism gruppa bo‘ladi.
3.3-ta’rif. Aytaylik, (G, ∗) gruppa va M uning qism to‘plami bo‘lsin. G gruppa-ning M to‘plamni o‘z ichiga oluvchi barcha qism gruppalari kesishmasi M to‘plam orqali hosil qilingan qism gruppa deyiladi va hMi kabi belgilanadi.
3.4-teorema. G gruppaning M qism to‘plami orqali hosil qilingan qism grup-pasi uchun quyidagi tenglik o‘rinli