3-ma'ruza. Qism gruppalar. Siklik gruppalar

H₁ = {0}, H₂ = {0, 2}, H₃ = Z₄.
Ko‘rinib turibdiki, Z₄ gruppaning barcha qism gruppalari ham siklik. Quyidagi misolda yana bir to‘rtinchi tartibli gruppani keltiramiz.
3.2-misol. Aytaylik, bizga G = {e, a, b, c} to‘plam berilgan bo‘lib, bu to‘plamda ∗ binar amal quyidagicha aniqlangan bo‘lsin:
e ∗ a = a ∗ e = a, e ∗ b = b ∗ e = b, e ∗ c = c ∗ e = c,
e ∗ e = a ∗ a = b ∗ b = c ∗ c = e,
a ∗ b = b ∗ a = c, a ∗ c = c ∗ a = b, b ∗ c = c ∗ b = a.
U holda (G, ∗) kommutativ gruppa bo‘lib, ushbu gruppa uchun
hei = {e}, hai = {e, a}, hbi = {e, b}, hci = {e, c}
munosabatlar o‘rinli. Ko‘rinib turibdiki, bu gruppa siklik emas. Ushbu gruppa 4-tartibli Kleyn gruppasi deb atalib, K₄ kabi belgilanadi.
3.3-misol. G gruppaning H qism gruppasi uchun gHg⁻¹ = {ghg⁻¹ | h ∈ H} to‘plam qism gruppa bo‘lishini va |gHg⁻¹| = |H| ekanligini ko‘rsating.
Yechish. Aytaylik, G gruppaning tartibi nm soniga teng bo‘lsin. Agar G siklik bo‘lsa, u holda G = hai bo‘lib, ord(a^m) = n bo‘ladi. H = ha^mi to‘plam esa, G gruppaning xos qism gruppasi bo‘ladi.
Agar G gruppa siklik bo‘lmasa, u holda uning birlik elementdan farqli ixtiyoriy a ∈ G elementini olib, H = hai to‘plamni qarasak, ushbu to‘plam G gruppaning xos qism gruppasi bo‘ladi.