3. Matematik va purjinali mayatnik

2.GARMONIK TEBRANISHLAR
Turmushda uchraydigan harakatlarning ba’zilari teng vaqt oralig‘ida takrorlanib turadi. Bunday harakatlar davriy harakatlar deyiladi. Davriy harakatlar orasida jismning muvozanat vaziyati atrofida goh bir tomonga, goh ikkinchi tomonga qiladigan harakati ko‘p uchraydi. Jismning bunday harakati tebranma harakat yoki qisqacha tebranishlar deyiladi.
Muvozanat vaziyatidan chiqarilgan jismning o‘z-o‘zidan ichki kuchlar ta’sirida qiladigan tebranishlari xususiy (erkin) tebranishlar deyiladi. Tebranayotgan jismning muvozanat vaziyatidan uzoqlashish masofasi uning siljishi (x) deyiladi. Muvozanat vaziyatdan eng katta chetlashishga tebranish amplitudasi ( A) deyiladi.
Mexanik tebranishlarni kuzatish uchun prujina uchiga mahkamlangan yukning tebranishlari bilan tanishaylik (1-rasm). Bu rasmdagi prujinaga mahkamlangan yuk gorizontal sterjenda ishqalanishsiz harakatlana oladi, chunki sharchaning og‘irlik kuchini sterjenning reaksiya kuchi muvozanatlaydi.
Prujinaning elastiklik koeffitsiyenti k, massasi hisobga olinmas darajada kichik. Tizimning massasi yukda, bikrligi esa prujinada to‘plangan deb hisoblash mumkin.
Agar muvozanat holatida turgan yukni o‘ng tomonga A masofaga cho‘zib, qo‘yib yuborsak, yuk cho‘zilgan prujinada (1- rasm) hosil bo‘lgan elastiklik kuchi
F_el = – kA (1.1)
ta’sirida muvozanat vaziyati tomon harakat qila boshlaydi. Vaqt o‘tgan sari yukning siljishi A dan kamaya boradi, lekin yukning tezligi esa osha boradi. Yuk muvozanat vaziyatiga yetib kelgach, uning siljishi (x) nolga teng bo‘lganligi uchun elastiklik kuchi nolga teng bo‘lib qoladi. Lekin yuk inersiyasi tufayli chap tomonga qarab harakatlana boshlaydi. Prujinada hosil bo‘lgan elastiklik kuchining moduli ham orta boradi. Lekin elastiklik kuchi doim yukning siljishiga teskari yo‘nalganligi uchun, u yukni tormozlay boshlaydi. Natijada yukning harakati sekinlasha borib, nihoyat u to‘xtaydi. Endi yuk siqilgan prujinada hosil bo‘lgan elastiklik kuchi ta’sirida yana muvozanat holati tomon harakat qila boshlaydi. Davriy ravishda tebranayotgan tizimning vaqt davomida qaysi qonun bo‘yicha o‘zgarayotganligini aniqlash uchun voronkaga qum to‘ldirib, uni ip bilan osib, tebrantirib yuboraylik. Voronkaning tebranish jarayonida uning tagidagi karton qog‘ozni bir tekis torta boshlasak, qumning qog‘ozidagi izning sinusoida shaklida ekanligiga guvoh bo‘lamiz. Bundan quyidagi xulosa kelib chiqadi: Davriy tebranayotgan jismning siljishi vaqt o‘tishi bilan sinuslar yoki kosinuslar qonuni bo‘yicha o‘zgaradi. Bunda siljishning eng katta qiymati amplituda A ga teng bo‘ladi:
x = Asin(ω₀t + φ₀), (1.2)
bu yerda: ω₀ – tebranayotgan sistemaning parametrlariga bog‘liq bo‘lgan siklik chastotasi, φ₀ – boshlang‘ich faza. (ω₀t + φ₀) esa tebranish boshlanganidan t vaqt o‘tgandagi tebranish fazasi.
Matematikadan ma’lumki, shuning uchun (1.2) ni


(1.3)
deb ham yozish mumkin.