3. Matematik va purjinali mayatnik

Vaqt davomida parametrlari sinus yoki kosinuslar qonuni bo‘yicha o‘zgaradigan tebranishlar garmonik tebranishlar deyiladi.

Demak, muvozanat vaziyatidan chiqarilgan prujinali mayatnik garmonik tebranar ekan. Sistema garmonik tebranishi uchun: 1) jism muvozanat vaziyatidan chiqarilganda unda tizimni muvozanat vaziyatiga qaytaruvchi ichki kuchlar hosil bo‘lishi; 2) tebranayotgan jism inertlikka ega bo‘lib, unga ishqalanish va qarshilik kuchlari ta’sir qilmasligi shart. Bu shartlar tebranma harakatning ro‘y berish shartlari deyiladi.
Garmonik tebranishlarning asosiy parametrlari:

1. 
   tebranish davri T – bir marta to‘liq tebranish uchun ketgan vaqt:
   

; (1.4)

2. 
   tebranish chastotasi ν – 1 sekundda ro‘y beradigan tebranishlar soni:
   

; (1.5)
Birligi [ν] = s^–1 = Hz;
c).siklik chastota – 2¶ sekunddagi tebranishlar soni: ;(1,6)

Garmonik tebranishlar tenglamasi (1.2) ni (1.5) va (1.6) larni hisobga olib quyidagi ko‘rinishlarda yozish mumkin.

x = Asin(ω₀t + φ₀) = = Asin(2πvt + φ₀).(1.7)
Siljishi vaqt davomida sinus yoki kosinuslar qonuni bo‘yicha o‘zgaradigan garmonik tebranishlarni miqdor jihatidan tavsiflovchi kattaliklarning aksariyati
(tezlik, tezlanish, kinetik va potensial energiyalari) ham garmonik o‘zgaradi.
Buni quyidagi grafik va tenglamalarda ko‘rishimiz mumkin:

(1.8)

(1.9)

(1.10)
3.PRUJINALI VA MATEMATIK MAYATNIKLAR

Davriy tebranma harakat qiladigan jism yoki jismlar sistemasi mayatnik deyiladi. Tabiatda uchraydigan aksa- riyat tebranma harakatlar: prujinali va matematik mayat- niklarning harakatiga o‘xshash bo‘ladi.
Bikrligi k bo‘lgan prujinaga osilgan m massali yukdan iborat tizimga prujinali mayatnik deyiladi (3-rasm). Osilgan yuk ta’sirida prujina x₀ masofaga
cho‘ziladi. Uning muvozanat sharti m
ma = –kx₀ (1.11)

bilan aniqlanadi. Prujinani biroz x ga cho‘zib, qo‘yib yuborsak, yuk vertikal yo‘nalishda tebranma harakatga keladi.
Tajriba yordamida yuk siljishining vaqtga bog‘liqligi
x = Asin(ω₀t + φ₀)
qonun bo‘yicha o‘zgarishini aniqlagan edik. Garmonik tebranayotgan jismning tezlanishini (1.10) dan tezlanishini (1.10) dan a = - ω₀²x ekanligini hisobga olsak, (1.10)

t englik quyidagi ko‘rinishga keladi:

(1.12)
ga ega bo‘lamiz.

Demak, garmonik tebranayotgan jismning siklik tebranish chastotasi tebranish sistemasiga kiruvchi jismlarning parametrlariga bog‘liq ekan. (1.12) prujinali mayatnikning siklik (davriy) chastotasini topish formulasi deyiladi.
Tebranish davrining ta’rifiga ko‘ra dan

y a’ni (1.13)

Prujinali mayatnikning tebranish davri osilgan yuk massasidan chiqarilgan kvadrat ildizga to‘g‘ri, prujina bikrligidan chiqarilgan kvadrat ildizga teskari proporsional bo‘ladi.

Prujinali mayatnikda energiya almashinishlarini qaraylik. Mayatnik- ning kinetik energiyasi prujinaning massasi hisobga olinmaganda, yukning kinetik energiyagasiga teng bo‘ladi. Avvalgi mavzuda tezlik  = Aω₀cos(ω₀t + φ₀) ifoda bilan aniqlanishi ko‘rsatilgan edi. U holda
mayatnikning kinetik energiyasi
(1.14)
ga teng bo‘ladi.
Prujinali mayatnikning potensial energiyasi prujinaning deformatsiya energiyasiga teng, ya’ni:


(1.15)

Ko‘pincha sistemaning to‘la energiyasi E_t = E_k + E_p ni bilish katta ahamiyatga ega:


(1.16)


(1.17)


E’tibor bering, prujinali mayatnikning to‘la energiyasi vaqtga bog‘liq bo‘lmagan doimiy kattalik ekan, ya’ni mexanik energiyaning saqlanish qonuni bajarilishi kuzatiladi.
Cho‘zilmas va vaznsiz ipga osilgan hamda muvozanat vaziyati atrofida davriy tebranma harakat qiluvchi moddiy nuqta matematik mayatnik deyiladi.
Mayatnik turg‘un muvozanat vaziyatida bo‘lganda moddiy nuqtaning og‘irligi (P = mg) taranglik kuchi T ni muvozanatlaydi (4-rasm). Chunki ularning modullari teng bo‘lib, bir to‘g‘ri chiziq bo‘ylab, qarama-qarshi tomonga yo‘nalgan. Agar mayatnikni α burchakka og‘dirsak, mg va T kuchlar o‘zaro burchak tashkil qilib yo‘nalganligi uchun bir-birini muvozanatlay olmaydi. Bunday kuchlarning qo‘shilishidan mayatnikni muvozanat vaziyatiga qaytaruvchi kuch vujudga keladi.
Mayatnikni qo‘yib yuborsak, mayatnik qayta- ruvchi kuch ostida muvozanat vaziyati tomon
^{harakat qila boshlaydi. 4-rasmdan}
F_q = P sinα = mg · sinα (1.18)
ekanligini ko‘ramiz.
Nyutonning ikkinchi qonuniga ko‘ra, F_q kuch
moddiy nuqtaga a tezlanish beradi. Shuning uchun

–mg sinα = ma. (1.19)
Juda kichik og‘ish burchaklarida (α ≤ 6° ÷ 8°) bo‘lganligi va F_q kuch doim siljishga qarama-qarshi yo‘nalganligi uchun (5.19) ni

ma ≈ –mg ·x/e
(1.20)

ko‘rinishda yozish mumkin. Agar moddiy nuqtaning (sharchaning) tebranish jarayonidagi siljishini x harfi bilan belgilasak hamda a = –ω₀²x munosabat

0
e’tiborga olinsa, – mω²x = mg .

(1.21)
Matematik mayatnik tebranish davrini aniqlovchi bu formula Gyugens formulasi deb ataladi. Bundan matematik mayatnikning quyidagi qonunlari kelib chiqadi:

1. 
   matematik mayatnikning og‘ish burchagi (α) kichik bo‘lganda tebranish davri uning tebranish amplitudasiga bog‘liq emas.
   
2. 
   matematik mayatnikning tebranish davri unga osilgan yukning massa- siga ham bog‘liq emas.
   
3. 
   matematik mayatnikning tebranish davri uning uzunligidan chiqarilgan kvadrat ildizga to‘g‘ri proporsional va erkin tushish tezlanishidan chiqarilgan kvadrat ildizga teskari proporsional ekan.
   

Bunda matematik mayatnikning tebranishi
x = Asin(ω₀t + φ₀)
ifoda bilan belgilanadi.
Shuni ta’kidlash lozimki, tebranish amplitudasi yoki og‘ish burchagi katta bo‘lganda, matematik mayatnikning tebranishi garmonik bo‘lmay qoladi.
Chunki, sinα ≈ ga teng bo‘lmaydi va mayatnik harakat tenglamasining yechimi sinus yoki kosinus ko‘rinishida bo‘lmay qoladi.