3-Mavzu. Matematik analizga kirish

Taqribiy hisoblashlarda differensialning qo‘llanilishi

Yuqorida ta’kidlaganimizdek, x₀ nuqtada differensiallanuvchi y=f(x) funksiya uchun yf’(x₀)dx, ya’ni ydy taqribiy tenglik o‘rinli. Shu taqribiy tenglik matematik analizning nazariy va tatbiqiy masalalarida muhim ahamiyatga ega bo‘lib, differensialning mohiyatini belgilaydi. Yuqoridagi tenglikda y=f(x)-f(x₀), x=x-x₀ deb olsak, quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz:

f(x)-f(x₀) f’(x₀)( x-x₀) yoki

f(x)  f(x₀)+f’(x₀)( x-x₀) (1)

(1) formula funksiya qiymatlarini taqribiy hisoblashda keng qo‘llaniladi.

Masalan, f(x)= funksiya uchun quyidagi

(2)

formula o‘rinli. Agar f(x)= funksiyaning x=0,98 dagi qiymatini hisoblash talab qilinsa, (2) formulada x=1, x=-0,02 deb olish yyetarli. U holda bo‘ladi. Agar kalkulyatorda hisoblasak, uni 10^-6 aniqlikda 0,989949 teng ekanligi ko‘rish mumkin. Demak, differensial yordamida hisoblaganda xatolik 0,001 dan katta emas. Umumiy holda differensial yordamida taqribiy hisoblashlardagi xatolikni baholash masalasini kelgusida o‘rganamiz.

Teorema. f(x) funksiya x=x₀ nuqtada differensiallanuvchi bo‘lishi uchun uning shu nuqtada chekli f’(x₀) hosilasi mavjud bo‘lishi zarur va yetarlidir.

Isboti. (Zaruriyligi) Funksiya x=x₀ nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsin. U holda funksiyaning orttirmasini (1) ko‘rinishda yozish mumkin. Undan x0 da ni yozish mumkin. Bundan x0 da , demak x nuqtada hosila mavjud va f’(x)=A ekanligi kelib chiqadi.

(Yyetarliligi) Chekli f’(x₀) hosila mavjud bo‘lsin, ya’ni . U holda , bu erda (x) x0 da cheksiz kichik funksiya. Demak,

y=f’(x₀)x+(x)x (2)

yoki y=Ax+(x)x, bu erda A=f’(x₀). Shunday qilib x=x₀ nuqtada f(x) funksiya differensiallanuvchi va A=f’(x₀)ekan.

Bu teorema bir o‘zgaruvchili funksiya uchun differensiallanuvchi bo‘lish hosilaning mavjud bo‘lishiga teng kuchli ekanligini anglatadi. Shu sababli hosilani topish amali funksiyani differensiallash, matematik analizning hosila o‘rganiladigan bo‘limi differensial hisob deb ataladi.

Shunday qilib, avvalgi 1-ta’rif bilan ekvivalent bo‘lgan ushbu ta’rifni ham berish mumkin:

2-ta’rif. Agar f(x) funksiya x=x₀ nuqtada chekli f’(x₀) hosilaga ega bo‘lsa, u holda f(x) funksiya x=x₀ nuqtada differensiallanuvchi deyiladi.