31. Suratlari 1ga teng va maxrajlari har xil bo’lgan ta kasrning yig’indisi ga teng. Shu kasrlarni toping

1972.2
931. Suratlari 1ga teng va maxrajlari har xil bo’lgan 3 ta kasrning yig’indisi 1 ga teng. Shu kasrlarni toping.
Yechim. Uchta kasrning eng kattasi dan katta va 1 dan kichik. Demak u ga teng. Qolgan 2 ta kasrning yig’indisi ga teng. Ulardan kattasi dan katta va dan kichik. Demak bu kasrimiz ga teng. O’z-o’zidan ma’lumki uchinchi kasrimiz 1 dan dastlabki topilgan 2 ta kasrimizni ayirganimizga teng. Demak javobimiz , , bo’ldi.
932. Necha usulda 7sm li va 12 sm li kesmalardan 1 m li kesma yasash mumkin?
Yechim. 7sm lidan m ta 12 sm lidan n ta kesma deylik. U holda 7m+12n=100 bo’ladi. 12 va 100 sonlari 4 ga bo’lingani uchun m ham 4 ga bo’linishi kerak. Lekin m 14 dan katta bo’lolmaydi. (chunki ). Demak m sonimiz 4, 8, 12 bo’la oladi. Lekin 8 va 12 mos kelmaydi chunki unda n butun son bo’la olmaydi. Demak 1 ta holatda bajariladi va u ham bo’lsa m=4, n=6 bo’lgan holatdir.
933. Sinfda 16 ta o’g’il bola va bir necha qiz bola bor. Har bir o’quvchi yoki shashkaga qiziqadi, yoki shaxmatga. Nechta qiz shashkaga qiziqsa, shuncha o’g’il shaxmatga qiziqadi. Sinfda jami nechta shashkachi bor?
Yechim. Shashkachi qizlarni x desak, shaxmatchi bolalar ham x bo’ladi. Demak shashkachi bolalar 16-x ta. Bundan kelib chiqqan holda jami shashkachilar

934. Talabalar guruh bo‘lib magnitafon sotib olishdi. Ammo ularga 20 so‘m yetmay qoldi. Shunda talabalar har biri yana bir xil butun sonli so‘mdan qo‘shishdi, shundan so‘ng ham 3 so‘m yetmay qoldi. Talabalar nechta bo‘lgan?
Yechim. Talabalar 20-3=17 so’m pul qo’shishgan. Ammo ular har biri teng miqdorda butun sonli pul qo’shishgan. 17 soni tub son ekanini hisobga oladigan bo’lsak demak 17 ta talaba bo’lgan.
935. 3x3 o’lchamdagi kvadrat shaklida 9 ta nuqta berilgan. Ulardan ixtiyoriy A o’zgarmas nuqtani tanlab turib, u bo’yicha nechta uchburchak yasash mumkin?
Yechim. Agar A nuqtani o’zgarmas deb tanlab olsak, B va C nuqtalarni quyidagicha tanlab olish mumkin. Lekin bu holda nuqtalar bir to’g’ri chiziqda joylashib qolishi mumkin. Bu esa A ning qayerdan tanlab olinishiga bog’liq. Quyidagicha 3 ta hol bo’lishi mumkin.


Unga ko’ra uchburchaklar soni mos ravishda 25, 24 va 26 bo’lishi mumkin. ( chunki rasmda mos ravishda 3 ta, 4ta va 2 ta to’g’ri chiziq joylashib qolgan)
936. Pallali tarozi richagining uzunliklari a va b ga teng. Bunda a Yechim. Aslida pallali tarozida tenglik bo’lishi uchun pallalarga qoyilgan yuklar massasining richag uzunligiga ko’paytmasi tengligidan foydalaniladi. Shuning uchun ham richaglar teng qilib yasaladi. Lekin bizga richaglari teng bo’lmagan tarozi berilgan va biror m massali yuk bilan tenglashtirilgan. Endi a pallaga biror p og’irlikdagi yukni qo’ysak, b pallaga q qo’yish kerak deb faraz qilaylik. U holda yuqorida aytilganidek

Demak p va q teng bo’lmaydi. Bunday tarozidan foydalanib bo’lmaydi.
937. a, b , c natural sonlar uchun munosabat o’rinli bo’lsa, abc ko’paytma 60 ga bo’linishini isbotlang.
Yechim. A) 3 ga bo’linmaydigan ixtiyoriy natural sonning kvadratini 3 ga bo’lsak 1 qoldiq qoladi. Agar a,b,c larning hech biri 3 ga bo’linmaydigan sonlar desak chap tarafda 2 qoldiq, o’ng tarafda 1 qoldiq chiqadi. Bu xato. Demak 3 ta sondan hech bo’lmaganda 1 tasi 3 ga bo’linadi.
B) 4 ga bo’linmaydigan butun sonning kvadratini 4 ga bo’lganda yoki 1 qoldiq qoladi yoki qoldiq qolmaydi. Yuqoridagi tenglik bajarilishi uchun esa agarda yig’indidagi sonlardan faqat bittasi juft desak, yig’indidagi 2-son toq va c ham toq bo’lishi kerak. U holda . C va b toq sonlar bolganligi uchun yig’indi ham , ayirma ham juft. Natija esa 4 ga bo’linadi. Agarda barcha sonlar juft desak, u holda ko’paytma baribr 4 ga bo’linadi. Demak abc ko’paytma 4 ga ham bo’linishi aniq bo’ldi.
C) 5 ga bo’linmaydigan sonning kvadratini 5ga bo’lganda yoki 1, yoki 4 qoldiq qoladi. Agarda ikkalasini ham 5ga bo’linmaydi deb tanlasak u holda to’g’ri tenglik hosil bo’lishi uchun yuqoridagi yig’indidan bitta sonni kvadtratida 4 qoldiq, bittasi kvadratida 1 qoldiq deb tanlashga majburmiz. (chunki ikkalasida ham 1 qoldiq yoki ikkalasida ham 4 qoldiq desak, o’ng tarafda 2 qoldiq yoki 3 qoldiq qolishi kerak. Bu esa haqiqatga zid) u holda yig’indi yana 5 ga bo’linadi va c 5 ga karrali son bo’lib qoladi. Demak 3 ta sondan biri aniq 5 ga karrali bo’lishi kerak.
Yuqoridagi sharhlardan ma’lumki abc ko’paytmada 3ga, 4ga va 5 ga karrali sonlar borligi aniq. U holda bu sonlar ko’paytmasi aniq 60 ga bo’linadi.
941. Tenglamani yeching.

Yechim. Ma’lumki

tenglik o’rinli. Agar belgilash kiritib tenglamani soddalashtirsak,

ko’rinishdagi tenglamaga ega bo’lamiz. Kvadrat tenglamaning diskriminati ga teng. Bu ifoda dan tashqari barcha holatda manfiydir.
Agar bo’lsa, u holda va , agar bo’lsa, u holda
va
942. Agarda bo’lsa, tengsizlik bajarilishini isbotlang.
Yechim. bo’lgan holatda

943. Quyidagi funksiya grafigi simmetriya markaziga ega bo’lsa, u holda o’sha simmetriya markazi topilsin.

Yechim. nuqta funksiya grafigining simmetriya markazi bo’lsin. U holda ushbu funksiyaga tegishli ixtiyoriy nuqtaga simmetrik bo’lgan nuqta koordinatalari bo’ladi. Bu nuqtani funksiyaga qo’yamiz.

Agarda x nuqtani va desak, u holda quyidagi tenglamalarga ega bo’lamiz.


Ushbu tenglamadan va ekani kelib chiqadi. Demak simmetriya markazi (2;0) nuqta ekan.
944. Agar soni ko’rinishida bo’lsa, u holda 1 sonini turli xil p li kasrlarning yig’indisi ko’rinishida yozing.
Yechim. Biz p ko’rinishdagi sonlarni faqat quyidagicha qilib olishimiz mumkin.
, .
U holda

ni topishimiz kerak.
Oldin uni quyidagicha qilib yoyamiz:
,

Biz 931-misolda tenglikni ko’rgan edik. Xuddi shundan foydalangan holda

tenglikni yoza olamiz.
945. Agar tenglik o’rinli bo’lsa, yig’indi qanday x va y juftliklarida o’zining maksimal qiymatiga erishadi?
Yechim. Agarda tenglik o’rinli bo’lsa , u holda ekanligi ma’lum. Bundan esa ekanini ayta olamiz.
Demak ni qaragan holda uning maksimal qiymati 1 ga teng ( ) va u ham bo’lsa yoki bo’lganda bajarilar ekan.
946. Radiusi R ga teng bo’lgan aylanada uchta diametr o’tkazilgan va aylanadagi ixtiyoriy M nuqtadan diametrlarga perpendikulyarlar tushurilgan . Agar diametrlar bir birlari bilan burchaklar tashkil qilsa, ABC uchburchakning yuzini hisoblang.
Yechim. Avval shu tarzda olingan va uchburchaklar kongurent ekanini isbotlaymiz. Keling oldin aylanada ikkita diametr chizamiz va ular orasidagi burchakni deb belgilaymiz. Aylananing ixtiyoriy M nuqtasidan ularga perpendikulyar qilib MA va MB larni tushuramiz. Keyin O,A,M,B nuqtalar bitta aylanaga tegishli bo’lib qoladi va ular uchun OM diametr hisoblanadi. Bundan kelib chiqadiki . Demak , . Shuning uchun bu masalada M nuqtani ixtiyoriy tanlab olish mumkin. Поэтому в данной задаче точку на окружности можно взять произвольно.
Diametrlardan biri M nuqtada deb hisoblaylik . U holda



947. ABC uchburchak aylanaga ichki chizilgan bo’lsin. va nuqtalar S nuqtada aylanaga urinadi. СS to’gri chiziq AB ni M nuqtada kesib o’tadi. U holda bo’lishini isbotlang. Bu yerda

Yechim. deb belgilash kiritaylik. U holda

Bundan