31. Suratlari 1ga teng va maxrajlari har xil bo’lgan ta kasrning yig’indisi ga teng. Shu kasrlarni toping

ACS va BCS uchburchaklar uchun quyidagilar o’rinli.

Chunki .

Natijada

949. AB kesma C va D nuqtalar orqali 3 ta teng bo’lakka bo’lingan: .

a) tekislikdagi ixtiyoriy M nuqta uchun quyidagi tenglik o’rinli bo’lishini isbotlang. .
b) yig'indi ga teng bo’ladigan M nuqtaning joylashuvini aniqlang..
Yechim. AB kesmani o’rtasi koordinata markazida va o’zi esa OX o’qida qilib koordinatalar sistemasiga joylashtiramiz. U holda quyidagi nuqtalarni aniqlay olamiz: .

1. 
   Tekislikdagi ixtiyoriy M nuqta uchun quyidagilar o’rinli:
   

2. 
   M(x;y) koordinatali ixtiyoriy nuqtani olaylik. U holda yuqoridagi shart bajarilishi uchun quyidagi munosabat o’rinli bo’lishi kerak.
   

Demak bu markazi koordinata boshida bo’lgan aylana tenglamasi ko’rinishiga keldi.
Agar bo’lsa, radiusi ga teng bo’lgan aylanani ifodalaydi, da esa faqat bitta nuqta ekanini bildiradi(0;0). Agarda bo’lsa yechimga ega emas.

951. Tenglama ildizlarining 11-darajalari yig’indisini toping.

Yechim. Agar tenglama ildizlarini sonlari desak u holda tenglama ildizlari uchun quyidagi tengliklarni yoza olamiz.
,

Bundan:

Boshqa ildizlar uchun ham ushbu tengliklarni yoza olamiz:


Endi esa bu sonlarni qo’shib ko’raylik.
.
ekanligi ma’lum (Viyet teoremasiga ko’ra). U holda,

.
Demak:
954. АВС uchburchakka ichki chizilgan va tenglik o'rinli. Xuddi shu tartibda uchburchakka uchburchak ichki chizilgan. uchburchak yuzining ABC uchburchak yuziga nisbatini toping.
Yechim. Masalani vektorlar yordamida yechamiz. U holda bo’ladi va quyidagi munosabatlar o’rinli:





Bundan ko’rinib turibdiki va ABC uchburchaklar tomonlari orasidagi nisbat ga teng. Shuning uchun ularning yuzalari orasidagi nisbat yuqoridagi nisbatning kvadratiga teng bo’ladi.

955. ABC to’g’ri burchakli uchburchakning AB gipotenuzasida va nuqtalar tanlab olingan va bu nuqtalar quyidagi tenglikni qanoatlantiradi.

U holda ushbu tenglik isbotlansin.

Yechim. Vektorlar yordamida hisoblaydigan bo’lsak quyidagi munosabatlar o’rinli:

,
,
,
.
Bundan kelib chiqadiki