4- mavzu: Ikki va uch noma’lumli ikkita va uchta chiziqli tenglamalar sistemasi. Kramer qoidasi

3. noma’lumli ta tenglamalar sistemasi. Umumiy holda noma’lumli ta chiziqli tenglamalar sistemasi bunday yoziladi:
(20.15)
Bu yerda noma’lum sonlar, qolgan sonlar esa ma’lum, ozod hadlar, sistema koeffisentlari. 1-bandda ikki noma’lumli ikkita chiziqli tenglama sistemasi uchun va 2-bandda uch noma’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasi uchun olingan Kramer qoidasi noma’lumlar soni chiziqli tenglamalar soni bilan bir xil bo’ladigan istalgan (20.15) sistema uchun o’rinli. Bu qoidani keltirib chiqarmasdan qabul qilamiz.
Agar noma’lumli ta chiziqli tenglamalar sistemasi (20.15) ning determinanti bo’lsa, u holda sistema birgalikda va ushbu formulalar bilan ifodalanadigan birgina yechimga ega:

Bu yerda determinant (20.15) sistema noma’lumlari oldidagi koeffisentlardan tuziladi. esa dan undagi har bir noma’lum oldidagi mos koeffisentlarni ozod hadlar bilan almashtirishdan hosil bo’ladi.
21-§. Gauss usuli
noma’lumli ta chiziqli tenglamalar sistemasini Kramer qoidasi bo’yicha yechish dan boshlaboq katta va mashaqqatli ishga aylanadi, chunki bu ish to’rtinchi tartibli beshta determinantni hisoblash bilan bog’liq. Shu sababli amalda Gauss usuli muvaffaqiyat bilan qo’llaniladi va u sistema birgalikda hamda aniq bo’lsa, uni soddaroq ko’rinishga keltirish va barcha noma’lumlarning qiymatlarini ketma-ket topish imkonini beradi. Gauss usuli shundan iboratki, u almashtirishlar yordamida noma’lumlarni ketma-ket chiqarib, so’ngi tenglamada faqat bitta noma’lumni qoldiradi.
Quyidagi ta chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini qaraylik:
(21.1)
Bu sistemani Gauss usuli bilan yechish jarayoni ikki bosqichdan iborat.
1- bosqich. (21.1) sistema uchburchak ko’rinishga keltiriladi. Bu quyidagicha amalga oshiriladi: deb (agar bo’lsa, 1- tartibli tenglama bilan bo’lgan tenglamaning o’rinlarini almashtiramiz) quyidagi nisbatlarni tuzamiz.
.
Sistemaning tenglamasiga 1- tenglamani ga ko’paytirilganini qo’shamiz. Bunda biz sistemaning 2- tenglamasidan boshlab hammasida noma’lumni yo’qotamiz. O’zgartirilgan sistema quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
(21.2)
deb faraz qilib quyidagi nisbatlarni tuzamiz:

(21.2) sistemaning tenglamasiga uning 2-tenglamasini ga ko’paytirib qo’shamiz va natijada quyidagi sisteman hosil qilamiz:

Bundan

Yuqoridagidek jarayonni marotaba bajarib quyidagi uchburchak ko’rinishidagi sistemani hosil qilamiz:
(21.3)
Shu bilan yechimni topishning 1- bosqichi yakunlanadi.
2-bosqich uchburchak ko’rinishidagi (21.3) sistemani yechishdan iborat. Oxirgi tenglamadan topiladi. Undan oldingi tenglamaga ning topilgan qiymati qo’yilib, topiladi. Shunday mulohazalarni davom ettirib nihoyat 1-tenglamadan topiladi. noma’lumlarni topish uchun quyidagi formulalardan foydalanish mumkin:



Gauss usulining 1-bosqichida ta qo’shish, shuncha ko’paytirish va ta bo’lish amallari bajariladi, 2-bosqichda qo’shish, shuncha ko’paytirish va ta bo’lish amali bajariladi.
1- m i s o l. Ushbu
(21.4)
tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yeching.
Y e ch i sh. Usulning birinchi qadami (21.4) sistemaning ikkinchi va uchinchi tenglamalaridan noma’lumni chiqarishdan iborat. Buning uchun bu sistemaning birinchi tenglamasini ga ko’paytiramiz va olingan tenglamani ikkinchi tenglamaga qo’shamiz, keyin esa birinchi tenglamani ga ko’paytiramiz va olingan tenglamani uchinchi tenglamaga qo’shamiz. Bu ishlar natijasida berilgan (21.4) sistemaga teng kuchli ushbu sistemani olamiz:
(21.5)
Bu sistemaning uchinchi tenglamasini 2 ga qisqartirib,
(21.6)
ni hosil qilamiz. Ikkinchi qadam noma’lumni (21.3) sistemaning uchinchi tenglamasidan chiqarishdan iborat. Buning uchun shu sistemaning ikkinchi tenglamasini ga ko’paytiramiz va uchinchi tenglamaga qo’shamiz. Buning natijasida ushbu teng kuchli sistemani olamiz:
(21.7)
Bu sistemaning uchinchi tenglamasini ga bo’lib, ushbuga ega bo’lamiz:
(21.8)
(21.4) tenglamalar sistemasi uchburchakli deb ataladigan (21.8) shaklni oldi. So’nggi tenglama bitta noma’lumni, pastdan ikkinchi tenglama va noma’lumlarni, birinchi tenglama esa uchala noma’lumni o’z ichiga oladi. Har bir oldingi tenglama keying tenglamadan bitta ko’p noma’lumni o’z ichiga oladi. Endi barcha noma’lumlarning qiymatlarini topish oson. Uchinchi tenglamadan ni olamiz, bu qiymatni (21.8) sistemaning ikkinchi tenglamasiga qo’yib, ni olamiz. va qiymatlarni (21.8) sistemaning birinchi tenglamasiga qo’yib, ni olamiz: yechim olindi.
Gauss usulining xususiyati shundaki, unda sistemaning birgalikdalik masalasini oldindan aniqlab olish talab qilinmaydi.
1. Agar sistema birgalikda va aniq bo’lsa, u holda usul birgina yechimga olib keladi.
2. Agar sistema birgalikda va aniqmas bo’lsa, u holda biror qadamda ikkita aynan teng tenglama hosil bo’ladi va shunday qilib, tenglamalar soni noma’lumlar sonidan bitta kam bo’lib qoladi.
3. Agar sistema birgalikda bo’lmasa, u holda biror qadamda chiqarilayotgan noma’lum bilan birgalikda qolgan barcha noma’lumlar ham chiqariladi, o’ng tomondan esa noldan farqli ozod had qoladi.
2- m i s o l. Ushbu tenglamalar sistemasini yeching:

Y e ch i sh. Birinchi tenglamani ga ko’paytiramiz va ikkinchi tenglamani qo’shamiz, keyin esa birinchi tenglamani ga ko’paytiramiz va uchinchi tenglamani qo’shamiz. Shu bilan ikkinchi va uchinchi tenglamalardan noma’lumni chiqaramiz:

Endi uchinchi tenglamadan noma’lumni chiqarayotganimizda biz noma’lumni ham chiqaramiz, bu esa ziddiyatlikka olib keladi. Chunki Shunday qilib, Gauss usulini qo’llanish berilgan sistemaning birgalikda emasligini ko’rsatdi.
3-m i s o l. Ushbu tenglamalar sistemasini yeching:

Y e ch i sh. 2-misoldagi ishlarni takrorlab, sistemani
(21.9)
ko’rinishga keltiramiz, bu esa berilgan sistema

sistema teng kuchli ekanligini bildiradi. ((21.9) sistemaning so’nggi ikki tenglamasi bir xil). Bu sistema birgalikda bo’lsa-da, lekin aniqmas, ya’ni cheksiz ko’p yechimga ega.
O’ z- o’ z i n i t e k sh i r i sh u ch u n s a v o l l a r
1. Kramer qoidasini aytib bering.
2. chiziqli tenglamalar sistemasi qaysi holda birgina yechimga ega?
Ikkita va uchta tenglama sistemalari uchun buni geometrik nuqtai nazardan
qanday talqin etish mumkin?
3. chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli nimadan iborat?