4-amaliy mashg‘ulot Na’muna uchun misollar yechimi

4-mavzu. Haqiqiy sonlar 

to‘plamining chegaralari 

 

 

4-amaliy mashg‘ulot 

 

Na’muna uchun misollar yechimi 

1-мисол. Ушбу 

2

2

:

4

n

E

x

n

N

n





=

=

∈





+





 

тўпламнинг аниқ юқори ҳамда аниқ қуйи чегараси топилсин. 

◄ Равшанки,  n

N

∀ ∈  учун 

2

2

0

1

4

n

n

<

<

+

                                               (1) 

бўлади. Демак, берилган тўплам чегараланган.  

(1) муносабатдан  x

E

∀ ∈  учун 

2

2

1

4

n

x

n

=

≤

+

 

бўлиши келиб чиқади. 

0

ε

∀ >  сонни 

(

)

0

1

ε

< <  олиб, 

E

тўпламда, унинг 

2

0

2

4

n

x

n

=

+

,   

(

)

4 1

n

ε

ε

−

>

 

элементи қаралса, унинг учун 

2

2

1

4

n

n

ε

> −

+

                                          (2) 

тенгсизлик бажарилади (чунки 

(

)

(

)

(

)

2

2

2

2

2

2

2

1

4

4

4 1

4

4 1

4 1

)

n

n

n

n

n

n

n

n

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

> − ⇒

>

+ −

−

⇒

>

−

⇒

+

−

−

⇒

>

⇒ >

 

(1) ва (2) муносабатлардан топамиз: 

2

2

:

1

4

n

SupE

Sup x

n

N

n





=

=

∈

=





+





. 

Худди шунга ўхшаш 

 

 

2

2

inf

inf

:

0

4

n

E

x

n

N

n





=

=

∈

=





+





 

бўлиши кўрсатилади.► 

 

 

 

Қуйидаги тўпламлар чегараланганликка текширилсин (1–6): 

1. 

2

:

1

n

E

x

n

N

n





=

=

∈





+





. 

 

2. 

{

}

2

1

6 :

E

x

n

n

n

N

=

= −

−

∈

 

3. 

( )

2

1

10

:

1

n

n

E

x

n

N

n





−

⋅ +





=

=

∈





+









. 

4. 

:

,

1

n

n

E

x

n

N

a

a





=

=

∈

>









. 

 

5. 

( )

( )

1

1

1

1

:

n

n

E

x

n

n

N

n





− −









=

= + −

⋅ +

∈

















. 

6. Ушбу 

1

:

E x

n

N

n





=

∈









 

тўпламнинг аниқ юқори ҳамда аниқ қуйи чегаралари топилсин. 

7. Ушбу  

( )

1

1

:

n

E

x

n

N

n





−





=

= +

∈













 

тўпламнинг аниқ юқори ва аниқ қуйи чегаралари топилсин. 

8. 

E

R

⊂

 тўплам учун 

SupE

 ва 

inf E

 лар мавжуд бўлиб, 

inf

SupE

E

=

 

бўлса, 

E

 тўплам тўғрисида нима дейиш мумкин. 

9. Агар 

E

R

⊂

, 

F

E

⊂

 тўпламлар учун:  

1) 

,

:

,

x

E

y

F x

y

∀ ∈ ∀ ∈

≤

 

 

 

2)

0

0

0

0

0,

,

:

x

E y

F y

x

ε

ε

∀ > ∃ ∈ ∃ ∈

−

<

 

бўлса, у ҳолда 

inf

SupE

F

=

 

бўлиши исботлансин. 

10. Агар 

E

R

⊂

 тўплам чегараланган бўлиб, 

1

E

E

⊂

 бўлса, у ҳолда 

1

1

, inf

inf

SupE

SupE

E

E

≤

≥

 

бўлиши исботлансин. 

11. Агар 

E

R

⊂

 тўплам чегараланган бўлиб,   a

R

∈  бўлса, у ҳолда 

{

}

Sup a

E

a

SupE

+

= +

 

бўлиши исботлансин. 

12. Агар 

E

R

⊂

 тўплам чегараланган бўлиб, 

0

a >

 бўлса, у ҳолда 

{

}

Sup a E

a SupE

⋅

= ⋅

 

бўлиши исботлансин. 

13.  Айтайлик,  чегараланган 

{ }

E

x

R

=

⊂   тўплам  ҳар  бир  x   элементининг 

қарама-қаршиси  x

−  лардан тузилган тўплам 

F

 бўлсин: 

{

}

:

F

x x

E

= −

∈

. У 

ҳолда  

inf ,

SupF

E

= −

 

inf F

SupE

= −

 

бўлиши исботлансин. 

14.  Айтайлик, 

{ }

E

x

R

=

⊂ , 

{ }

F

y

R

=

⊂   чегараланган  тўпламлар  бўлиб, 

{

}

:

,

E

F

x

y x

E y

F

+

=

+

∈

∈

 бўлсин. У ҳолда 

(

)

,

Sup E

F

SupE

SupF

+

=

+

 

(

)

inf

inf

inf

E

F

E

F

+

=

+

 

бўлиши исботлансин. 

15.  Айтайлик, 

{ }

E

x

R

=

⊂ ,

{ }

F

y

R

=

⊂   чегараланган  тўпламлар  бўлиб, 

{

}

:

,

E

F

x

y x

E y

F

−

=

−

∈

∈

 бўлсин. У ҳолда 

(

)

inf

Sup E

F

SupE

F

−

=

−

 

 

 

бўлиши исботлансин 

16.  Ушбу 

{

}

:

0 ,

E

x x

+

=

>

 

{

}

:

0

F

y y

+

=

>

  тўпламлар  ёрдамида  тузилган 

{

}

:

,

E

F

x y x

E y

F

+

+

+

+

⋅

=

⋅

∈

∈

 тўплам учун 

(

)

inf

inf

inf

,

E

F

E

F

+

+

+

+

⋅

=

⋅

 

(

)

Sup E

F

SupE

SupF

+

+

+

+

⋅

=

⋅

 

бўлиши исботлансин. 

17.  Айтайлик, 

E

R

⊂

, 

F

R

⊂

  тўпламлар  юқоридан  чегараланган  бўлсин. 

Унда 

(

)

(

)

max

,

Sup E

F

SupE

SupF

=

∪

 

бўлиши исботлансин. 

 

(

(

)

max

,

a

b

a

−  ва b ларнинг каттаси )