4-ma’ruza. Chiziqli algebraga kirish. Vektor va matrisalar bilan ishlash. Reja

Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli. n ta no’malumli m ta tenglamalar sistemasini qaraymiz (14).
Agar chizikli tenglamar sistemasi yechimga ega bo’lsa, u birgalikda, agar yechimga ega bo’lmasa, u birgalikda emas deyiladi. Quyidagi elemyentar almashtirishlar natijasida tenglamalar sistemasi o’ziga teng kuchli sistemaga almashadi;

1. 
   Istalgan ikki tenglamani o’rinlarini almashtirilsa;
   
2. 
   Tenglamalardan istalgan birini ikkala tomonini noldan farkli songa ko’paytirilsa;
   
3. 
   Tenglamalardan birini istalgan haqiqiy songa ko’paytirib, boshqa tenglamaga qo’shilsa.
   

Agar n>m bo’lsa, n - m ta bir xil noma’lumli xadlarni tengliklarning o’ng tomoniga olib o’tib, o’ng tomidagi nomalumlar ixtiyoriy qiymatlarni qabul qiladi deb, tenglamalar sistemasini n=m xolga keltirib olish mumkin. Shuni e’tiborga olib, (14) sistemani n=m xoli uchun yechamiz.
Gauss usulining moxiyati noma’lumlarni ikkinchi tenglamadan boshlab, ketma-ket yo’qotib oxirgi teglamada bitta no’malum qolguncha davom ettiriladi va oxirgi tenglamadan yuqoriga qarab no’malumlarni ketma-ket topib, yechim hosil qilinadi.
Gauss usulining algoritmi quyidagi qadamlardan iborat:
1-qadam. (14) sistemada birinchi tenglamani xar ikki tomonini a₁₁ ga bo’lib, teng kuchli ushbu sistemani hosil qilamiz:
(18)
Birinchi tenglamani a₂₁ ga ko’paytirib ikkinchi tenglamadan, a₃₁ ga ko’paytirib uchinchi tenglamadan va xokazo a_n1 ga ko’upaytirib, n-tenglamadan ayiramiz. Natijada yana berilgan sistemaga teng kuchli ushbu yangi sistemani hosil qilamiz:
(19)
Bu sistemada quyidagicha belgilashlar kiritilgan:
a’_1k = a_1k/a₁₁, a’_{i k} = a_{i k} - (a_1k/a₁₁)a _i1 ,
b’₁ = b₁/a₁₁, b’_i = b_i - (b₁/a₁₁)a _i1.
i =2,.., n; k=2,..,n.
Agar (19) sistemada biror tenglama chap tomonnidagi barcha koeffitsyentlar nolga teng, o’ng tomoni esa noldan farqli bo’lsa, ya’ni
0x₂+ 0x₃ + ... + 0x_n = b _k (20)
ko’rinishdagi tenglama hosil bo’lsa, sistema birgalikda emas bo’ladi va ishni shu yerda to’xtatamiz.
Agar (20) ko’rinishdagi tenglama hosil bo’lmasa keyingi qadamga o’tiladi.
2-qadam. Ikkinchi tenglamani a₂₂ koefitsiyentga bo’lamiz, hosil bo’lgan sistemaning ikkinchi tenglamasini ketma-ket a’₃₂,..., a’_n2 ga ko’paytirib uchinchi, to’rtinchi va xokazo tenglamalardan ayiramiz.
Biz bu jarayonni oxirgi tenglamada x_n noma’lum qolguncha davom ettirsak, dastlabki sistemaga teng kuchli
(21)
(21) ko’rinishdagi sistemaga ega bo’lamiz. x_n=d_n qiymatini (n-1) tenglama qo’yib x_n-1 ni topamiz va xokazo, bu ishni x₁ topilguncha davom ettiramiz.
Misol. Quyidagi uchta no’malumli uchta tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin:

Yechish. Birinchi tenglamaning barcha xadlarini a₁₁=2 ga bo’lib,

sistemani hosil qilamiz. Birinchi tenglamani 3ga ko’paytirib ikkinchi tenglamadan va so’ngra uchinchi tenglamadan birinchi tenglamani ayiramiz:

Ikkinchi tenglamani 0.5 ga bo’lib, so’ngra uni -1.5 ga ko’paytirib, uni uchinchi tenglamadan ayiramiz:
Natijada hosil bo’ladi.
Bundan ketma-ket x₃=3, x₂=-1+3=2, x₁=0.5-0.5x₂ +0.5x₃ =1 larni topamiz. Shunday qilib, berilgan sistemani yechimlari x₁=1, x₂ =2, x₃ =3 aniqlaymiz.
Misol. Quyidagi beshta no’malumli uchta tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin:

Yechish. Bu sistemada x₄ va x₅ larni o’ng tomonga olib o’tamiz:

Misol uchun, x₄ =2, x₅ =1 qiymatlarni qo’ysak quyidagi sistema hosil bo’ladi:

x₂ =3 ekanini e’tiborga olsak

sistemaga ega bo’lamiz. Birinchi tenglamani 2ga ko’paytirib, undan ikkinchi tenglamani ayirsak

hosil bo’ladi. Bundan x₃ =-³/₇, x₂ =3, x₁ =¹²/₇ aniqlanadi.
Tenglamalar sistemani Kramyer usulidan foydalanib echishga misol keltiramiz.
Misol. Quyidagi to’rtta no’malumli to’tta tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin:

Yechish. Sistemani Kramyer usulida yechamiz”
x₁ =81, x₂ = -108, x₃ = -27, x₄ = 27.
Demak, sistema yagona yechimga ega, chunki 0. Bu yechim esa
x₁= x₁/ = 3, x₂= x₂/ = -4, x₃= x₃/ = -1, x₄= x₄/ = 1.
bo’ladi.
(14) tenglamalar sistemasi bir jinsli, ya’ni b₁ = b₂ =...= b_n= 0 bo’lgan xolni ko’ramiz:
(22)
(22) tenglamalar sistemasi bir jinsli, chizikli tenglamalar sistemasi deyiladi.
Ishonch hosil kilish mumkinki, x₁ = x₂ = ... = x_n = 0 (22) ning yechimi bo’ladi va bu yechim trivial yechim deb ataladi. Agar (22) bir jinsli sistemanig asosiy determinanti  noldan farqli bo’lsa, bu sistema faqat trivial yechimga ega bo’ladi, chunki bu xolda x₁=x₂ = ... =x_n= 0 va Kramyer formulasiga asosan x₁=x₂=...=x_n =0 bo’ladi.
Demak (22) sistemani notrivial yechimi mavjud bo’lishi uchun =0 bolishi zarur.
Misol. Quyidagi ikkita no’malumli ikkita tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin:

Yechish. x₁=x₂=0 trivial yechim ekani ravshan:

Bundan ko’rinadiki, sistemaning notrivial yechimi bolishi mumkin. Xaqiqatan xam x₁=t, x₂=t (t-ixtiyoriy xaqiqiy son) sistemaning notrivial yechimi bo’ladi.
Bu sistemada x₄ va x₅ nomalumlarga boshqa qiymatlar berib, yangi yechim hosil qilish mumkin ekanini, boshqacha aytganda n>m bo’lganda yechim yagona bo’lmay cheksiz kop bo’lishini eslatib o’tamiz.