4-ma‘ruza. Mavzu: Vektorlar va ular ustida amallar. Reja

misol (3 а -2 b ) x (4 а +3 b ) topilsin.

Yechish а x а=0, b x b = 0, b x а =- а x b ekanini hisobga olib quyidagiga ega bo'lamiz.
(3 а -2 b) x (4 а +3 b )=12( а x а )+9(а x b )-8( b x а )-6( b x b )=i2’0+9(а x b)+ +8(а x b)- 6’0⁼i7(а x b).

2. 
   Vektor ko'paytmani topish.
   

> —> —► > —►
а =а_х i +а_у j +a_zк va b =b_x i +b_y j +b_zк vektorlar berilgan bo'lsin. Shu vektorlarning vektor ko'paytmasini ularning koordinatalaridan foydalanib, topiladigan formula chiqaramiz.
■> -*

1. 
   j,к vektorni vektor ko'paytmalarini hisoblaymiz. i x j vektor ko'paytmani qaraymiz. Bu ko'paytmaning
   

*“*■*“*■ 7Г
moduli ix j = i ■ j ■ sin— =1-1-1=1
2
♦ -► ■> -►
i x j vektor i va j vektorning har biriga perpendikulyar
bo'lgani uchun u 0z o'qda joylashgan va u bilan bir hil
> ■* 24-chizma.
yo'nalgan. Chunki uning uchidan qaragandan i dan ^j qisqa burilish masofasi soat mili aylanishi yo'nalishiga tesqari ko'rinadi.
Demak, i x j vektor к vektorning o'ziga teng ekan, ya‘ni i x j=к. Shuningdek
■> —► —► ■>—>■>• -► ■> +• ->
к x i = j, j x к = i, j x i =-к, к x j =- i, i x к =- j tengliklarga ega bo'lamiz. Ushbu tengliklardan hamda i x i = j x j=к x к =0 dan va vektor ko'paytmaning xossalaridan foydalanib quyidagiga ega bo'lamiz.
а x ^b =(а_х ⁱ +ау ^j +az к ) x (b_x ⁱ +by ^j +bz к }=а_хЬ_х(ⁱ x ⁱ }+а_хЬу(ⁱ x ^j )+аЬ(ⁱ x к )+
-> ■> ■> -►
ауЬх( ^j x i )+ауЬу( ^j x ^j ^ybz( ^j x к )+azbx( к x i ^zby( 1 x ^j ^zbz( к x к )=ахЬх-0+ахЬук -ахЬ_г^j -ауЬхк + aуby•0+aуbz i +а_гЪх ^j -а_гЪу i +azbz■0=(aуbz-azby) i - (axbz-zbx)^j + (ахЬу-ауЬх) к =

i	^ау	^а z	- J	^ах	^а z	+к	^ау	^а z
	b	b		b	b		b	b
	^у	z		х	z		^у	z

^ax

^a y ^az

Ьх

bb
у ^z

Demak а vektorning b vektorga vektor ko'paytmasini



ax ay az

(8.2)

bx by bz
formula yordamida topilar ekan. Jumladan tomonlari a va b vektorlardan iborat paralellogrammning yuzi


















Sn= a х b

i j k ax ay az

(8.3)

formula yordamida va shu vektorlardan yasalgan uchburchakning yuzi esa

Sa= — a х b
2

i j k ^ax ^ay ^az
b b_y b,

(8.4)

formula yordamida topiladi.
■>

2-misol. a =-4 i +3 k va b =3 i + j -2k vektorlarning vektor ko'paytmasi topilsin.
Yechish. (8.2) formulaga asosan:

i
-4
3

j ^k
03
1 - 2

=i

03
1 - 2

-j

+k

- 4 0
31

=-3 i + j -4 k.

2. 
   Uch vektorning aralash ko'paytmasi.
   

a, ^b va с vektorlar berilgan bo'lsin.

2. 
   ta'rif. a vektorning b vektorga vektor ko'paytmasi a х b ni uchinchi с vektorga skalyar ko'paytirish natijasida hosil bo'lgan son a, b , с vektorlarning aralash ko'paytmasi deyiladi. Vektorlar a =ax i +ay j +azk, b =ba i +by j +bz k, с = Ca ⁱ + Cb ^j + Cz к
   

yoyilmalari yordamida berilganda ularning aralash ko'paytmasi (a х в )• с ni topish uchun formula chiqaramiz.
i
a
^bx

(a х b )=

jk ^ay ^az bb
yz

^ay ^az by bz

ⁱ-

^ax ^a z
bb
x z

j+

^ax ^ay
^bx ^by


vektorni skalyar ko'paytmani topish formulasi (7.9) ga asoslanib
= Сх i +су j +Cz к vektorga skalyar ko'paytiramiz . U holda








(a x b )• с =

^a у ^az bb
У ^z

■ ^Сх

^ах ^az
bb
х z

■су+

^a_x

^ay
^by

kelib chiqadi. Bu tenglikning o'ng tomonidagi ifoda
^ах ^ау ^a z bx by bz
ССС
x у z
determinantning uchinchi satr elementlari bo'yicha yoyilmasi ekanini ko'rish qiyin emas. Demak






(a x b )• с=

^ax ^ay ^a z

(8.6)

^Сх

СС
У ^z

Shunday qilib, uch vektorning aralash ko'paytmasi uchinchi tartibli determinantga teng bo'lib uning birinchi satrini birinchi ko'paytuvchi vektorning koordinatalari, ikkinchi va uchinchi satrlarini ikkinchi va uchinchi ko'paytuvchi vektorlarning koordinatalari tashkil etadi.

3. 
   misol. a = 3 i +4 j +2 к, b = 3 i +5 j - к va с = 2 i +3 j +5 к
   

vektorlarning aralash ko'paytmasi topilsin .
Yechish. (8.6) formulaga asosan:









(aхb )• с = 35

=3

5 -1
35

-4

3 - 1
25

+2

35
23

=3(25+3)-4(15+2)+2(9-10)=14.

2. 
   Uch vektorning komplanarlik sharti.
   

Uchta komplanar noldan farqli a , b , с vektorlarni qaraymiz. Soddalik uchun bu vektorlar bir tekistlikda yotadi deb faraz qilamiz. Bu vektorlarni aralash ko'paytmasi ( a x b )• с ni tuzamiz. a x b vektor ko'paytma a va b vektorlarning har biriga perpendikulyar bo'lgani uchun u ular yotgan tekistlikka ham, jumladan с vektorga ham perpendikulyar bo'ladi. Perpendikulyar vektorlarning skalyar ko'paytmasi nolga tengligidan (a x b )• с =0 kelib chiqadi.
Demak komplanar vektorlarning aralash ko'paytmasi nolga teng ekan. Tesqarisi ham urinli, yani aralash ko'paytmasi nolga teng vektorlar komplanar bo'ladi.


(a x ?)■ с bo'lgani
Haqiqatan, vektorlar nokomplanar bo'lsa vektorlarni qirra deb parallelepiped
yasash mumkin bo'lib uning hajmi V / 0 bo'ladi. Ammo V= uchun (a x b )• с /'0 bo'ladi. Bu shartga zid.
Shunday qilib uchta а , b , с (noldan farqli) vektorlarning komplanar bo'lishi uchun ularning aralash ko'paytmasi nolga teng bo'lishi zarur va yetarlidir .
^ах ^ау ^а z





( а X b )• с =0 yoki

bx by ъ

=0

(8.9)

сс
ху
uch vektorning komplanarlik shartidir .
6-misol. А(1;0;1), В(4;4;6), C(2;2;3) va D(10;14;17) nuqtalar bitta tekistlikda yotadimi?
Yechish. А ={4-1; 4-0; 6-1}={3;4;5}, АС ={2-1; 2-0; 3-1}={1;2;2}, AD ={10-1; 14-0; 17-1}={9; 14; 16}
vektorni qaraymiz. Ularning aralash ko'paytmasini hisoblaymiz:










(аВ x АС)• AD = 1 2 2

16

=3

22
14 16

-4

12
9 16

+5

12
9 14

=3.4-4(-2>5-4=0.

Vektorlarning aralash ko'paytmasi nolga teng, ular komplanar va A,B,C,D nuqtalar bir tekistlikta yotadi.
Izoh. 1. Biz kerakli formulalarni faqatgina fazodagi vektorlar uchun chiqardik. Ammo keltirilgan formulalar tekistlikdagi vektorlar uchun ham yaroqli . Formulalardagi vektorlarning uchinchi koordinata (applikata)lari nol deb olinsa formulalar tekistlikdagi vektorlar uchun o'rinli bo'ladi. Masalan tekistlikda
> -► >

• k

bo'ladi.

i	^j	k	аа
а	а	0	—	ху
х	^у			bb
b	b	0		ху
х	^у

vektorlar а =а_х i +а_у j, b_x =b_x i +b_y j (i, j -dekart bazisi) kabi yoyilmaga ega bo'lsa
ularning vector ko'paytmasi а х b =

2. 
   Biz erkin vektorlar bilan ish ko'rganimiz uchun ko'p hollarda qaralayotgan vektorlarning boshi bir nuqtada deb faraz qildik.
   

O'z-o'zini tekshirish uchun savollar.

1. 
   Ikki vektorning vektor ko'paytmasi nima?
   
2. 
   Vektor ko'paytma qanaqa xossaga ega?
   
3. 
   Vektor ko'paytmani geometrik ma‘nosi nima?
   
4. 
   Vektor ko'paytma qanday topiladi?
   
5. 
   Parallelogramm va uchburchakni yuzini topish formulasini yozing ?
   
6. 
   Uch vektorni aralash ko'paytmasi deb nimaga aytiladi?
   
7. 
   Aralash ko'paytmaning geometrik ma‘nosi nima?
   
8. 
   Aralash ko'paytma qanday topiladi?
   
9. 
   Aralash ko'paytma yordamida parallelopiped va piramidaning hajmini topish formulasini yoziing?
   
10. 
    Uch vektoring komplanarlik sharti nimadan iborat?
    
11. 
    To'rtta nuqtaning bir tekislikda yotish yoki yotmasligi qanday tekshiriladi?
    

I ^1 I 22 2
tengliklarga ega bo'lamiz. |a| = Va_x + a_y + a_z ekanini hisobga olsak bu tengliklar

2 2 2¹
a_x² +a_y² +a_z²
bo'ladi. Demak istalgan vektorni yo'naltiruvchi kosinuslari kvadratlarining yig'indisi birga teng ekan, ya'ni cos² a + cos² 3 + cos² / = 1 (7.1') .