4-mavzu mavzu: Hosila tushunchasi va misollar. Hosilani hisoblash. Yuqori tartibli hosila. Oshkormas va parametrik funksiya hosilalarini hisoblash. Teskari funksiya hosilasi

Murakkab funksiyaning xosilasi.
Agar u o’zgaruvchi y o’zgaruvchining y=f(u) funksiyasi bo’lib, u esa o’z navbatida x ning funksiyasi u=(x) bo’lsa, u xolda y=f((x)) funksiyani x ning murakkab funksiyasi deyiladi.
Teorema. Agar u=(x) funksiya o’zgaruvchi x nuqtada y_xo=o(x) xosilaga, y=f(u) funksiya esa o’zgaruvchi u bo’yicha yo=f o(u) xosilaga ega bo’lsa, u xolda y=f((x)) murakkab funksiya xam shu x nuqtada


hosilaga ega bo’ladi.

Parametrik ko’rinishda berilgan funksiyaning xosilasi.

Agar tenglamamiz parametrik ko’rinishda berilgan bo’lib, (t), (t) funksiyalar differensiallanuvchi va o(t)0 bo’lsa yaoni formula o’rinli bo’ladi.

Asosiy elementar funksiyalarning hosilalari.

1. y=xⁿ (x>0) darajali funksiyaning xosilasini topaylik. Funksiya xosilasining ta’rifiga ko’ra у=(х+х) ^н-х^н=х ^н[ -1ё] ,

= = ;

=n ajoyib limitni e’tiborga olsak

= =nх^н-1. yо=(х^н)о=nх^н-1.

2. y=^х (>0 , 1) ko’rsatkichli funksiyaning xosilasi.
y= -^х= ^х (-1);


= ,

=ln ajoyib limitga ko’ra

yо= = =^х =^х ln.

demak, yо=(^х)о=^хln

3. y=log_ах (а>0, а1) logarifmik funksiyaning hosilasi ham
yо=(log_ах)о= log_ае formula bilan topiladi.
Agar log_ае= ; log_еа=lnа ; log_ех=lnх ; log_хе= . ekanligini e’tiborga olsak yо=(log_ах)о= kelib chiqadi.
Agar а=е desak lnа=lnе=1 bo’lib, y=lnх ; yо=(lnх)о= bo’ladi.


4. y=sinх funksiyanig xosilasini topish uchun x ga x orttirma bersak u xam у orttirma olib y=sin(х+х)-sinх=2sin( )cоs[ ] ,

yо= = [ ]=cоsх.

yо=(sinх)о=cоsх
xuddi shuningdek o’rta maktab dasturidan bizga mahlum bo’lgan boshqa trigonometrik funksiyalarning xosilalarini xisoblash mumkin:
(cоsх)о=-sinх ; (tgгх) о= ; (ctgх) о=- .

5. Endi y=arcsinx teskari trigonometrik funksiyaning xosilasini hisoblashni ko’raylik.
y=arcsinx funksiya x=siny funksiyaga teskari funksiya bo’lgani uchun, teskari funksiyalarning hosilalariga ko’ra
yо=(arcsinх) о= = = =
(arcsinх) о= , (-1<х<1).
Xuddi shuningdek
(arccosх) о=- ; (arctgх) о= ; (arcctgх) о= - .


6. y=lnх bo’lsa, yо= =; agar y=lnu bo’lib y=f(х) bo’lsa,
yо=(lnu) о= = ;
agar y=у^в(х)(х) bo’lsa, lny=vlnu – bundan xosila olsak
=vо∙lnu+v∙, yо=у ^в[vо∙lnu+v∙].