Chekli-ayirmali metodning ya

Chekli-ayirmali metodning yaqinlashishi. Asosiy g'oya tushunarli bo'lishi uchun chegaraviy sharti eng sodda bo’lgan ushbu chegaraviy masalani qaraymiz:
(3.33)
Oldingidek faraz qilaylik, u(x) yechim [a, b] da to'rtinchi tartibli uzluksiz xosilaga ega bo'lsin. U xolda (3.6), (3.7) formulalardan

xosil bo’ladi. Endi 9.3.3 dagidek

deb olamiz, bu yerda , , koeffitsiyentlar (3.19) formulalar
bilan aniqdanadi.
Faraz qilaylik, u(x) — chegaraviy masalaning izlanayotgan yechimi bo'lsin. U xolda yuqoridagi ifodalarni (3.12) ga qo'ysak,

Xosil bo’ladi, bu yerda ,

Ammo , , Koeffitsiyentlar ni yaxlitlash bilan hisoblanadi, shuning uchun xam real xisoblanadigan lar o'rniga taqribiy qiymatlar

,
munosabatlarni qanoatlantiradi, bu yerda yaxlitlash xisobidan
Xosil bo'lgan xatolik. Yechimning aniq qiymati bilan uning taqribiy qiymati orasidagi farqni

deb belgilaymiz, ni baxolaymiz va qaysi xollarda yaqinlashishini aniqlaymiz.
Endi (3.34), (3.35) formulalardan foydalanib,
ni aniqlash uchun


sistemaga ega bo'lamiz.
Biz ni baxolash uchun shunday funksiya quramizki, u
uchun majoranta bo’lsin, ya’ni

Majoranta qurish uchun quyidagi lemmadan foydalanamiz: Faraz qilaylik, va qandaydir sonlar bo'lsin.
Lemma (majoranta xaqida). Faraz qilaylik, quyidagi shartlar bajarilsin:
1) ;
2 ) ;
3) ;
4)
U holda

Isboti. Ushbu yig’indini qaraymiz. Lemmaning uchinchi
shartiga ko’ra

Maksimum prinsipi xaqidagi lemmaga ko’ra sonlar orasida eng kichik manfiy qiymatni yoki qabul qilishi mumkin. Lemmaning to’rtinchi shartiga ko’ra bu sonlar manfiy emas, demak, barcha uchun . Shunga o’xshash ekanligini ko’rsatish mumkin. Oxirgi ikkita tengsizlik ko’rsatadiki, yoki . Lemma isbotlandi.
Endi yordamchi masalani qaraymiz:


va uning yechimini deb belgilaymiz. Barcha uchun ekanligini ko’rsatamiz. Xaqiqatan xam, agar (a,b) da\ tengsizlikni qanoatlantiradigan nuqtalar topilsa, u holda V(x) funksiya [a,b] da uzluksiz bo’lganligi uchun shu oraliqning biror nuqtasida o’zining musbat bo’lmagan minimumiga erishadi. Bu xolda , , va bo’lganligi uchun biz tengsizlikka ega bo’lar edik. Bu esa qarama-qarshilikka olib keladi, chunki funksiya tenglamaning yechimidir.
Demak, barcha uchun .
Endi

funksiyani kiritib, musbat parametrni shunday tanlaymizki, sonlar lar uchun majoranta bo’lsin. Buning uchun funksiya tenglamaning yechimi deb faraz qilib, (3.34) formulani

ko’rinishda yozib olamiz. Shunga uxshash W(x) uchun

ni hosil qilamiz, bu yerda


Demak,

Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:


Bularni e’tiborga olib, (3.37) dan quyidagilarga ega bo’lamiz:

bunda qadamni tengsizlikni qanoatlantiradigan qilib olamiz. Shunday qilib,
(3.38)

Endi (3.36) dan ko’ramizki,
(3.39)
bunda

Agar biz parametrni

tengsizlikni kanoatlantiradigan qilib tanlab olsak, u xolda xisobga olinganda majoranta xaqidagi lemmani qo’llashimiz mumkin. Buning uchun (3.38) va (3.39) tengsizliklarga ko’ra

Yoki

Shunday tengsizlikni qanoatlantiradigan uchun 2-lemmadan

yoki

baxoga ega bo’lamiz; [a, b] oraliqda V(x) uzluksiz bo’lganligi uchun
u chegaralangandir.
Shuning uchun ham, agar da bo’lsa, u xolda (3.40)
tengsizlikdan kelib chiqadi.
Teorema. Faraz qilaylik,

chegaraviy masalaning yechimi [a, b] oraliqda to’rtinchi tartibli
uzluksiz hosilaga ega bo’lsin va quyidagi shartlar bajarilsin:
1) , 2) 3) .
U holda qaralayotgan chegaraviy masala uchun ayirmali metod anitqlikda tekis yaqinlashadi.