Chekli-ayirmali metodning ya

Eslatma. Agar va tengsizliklar urinli bulsa, teorema
(3.1)—(3.3) chegaraviy masala uchun ham o’rinli bo’ladi.
Bu va bunga o’xshash teoremalarning nuqsoni shundan iboratki, unda noma’lum yechimning uchinchi va to’rtinchi hosilalari qatnashadi. Odatda, bu hosilalarni baholash og’ir masala. Shuning uchun ham bu teorema faqat nazariy ahamiyatga ega.
Mashq. Ushbu chegaraviy masala


yuqorida keltirilgan xaydash metodining ikkala varianti yordamida takribiy
yechilsin va natija aniq yechimning qiymatlari bilan solishtirilsin.
9.3.6. Chekli-ayirmali metod yordamida ikkinchi tartibli chiziq1i bo’lmagan chegaraviy masalani yechish. Quyidagi chiziqli bo’lmagan
(3.41)
differensial tenglama va
, (3.42)
chegaraviy shartlar berilgan bo’lib, bunda , , , , bir xil ishoraga ega.
Shu bilan birga, faraz qilaylik, funksiya Oxyz
fazoning y va z larga nisbatan qavariq, bo’lgan biror G sohasida uzluksiz funksiya bo’lsin.
Oldingidek

tugunlar yordamida [a, b] oraliqni N ta teng bo’lakka bo’lib, (3.41)
tenglama va (3.42) chegaraviy shartlarni taqribiy ravishda almashtirib, ta noma’lumlarga nisbatan ushbu
(3.43)
(N + 1) ta chizqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
(3.44)
Yuqoridagi (3.43) sistemani yechish uchun iteratsiya metodini quyidagi sxema bo’yicha qo’llaymiz:
(3.45)
Bu yerda yuqoridagi indeks iteratsiyaning nomerini bildiradi.
Iteratsiyaning har bir qadamida chiziqli algebraik tenglamalar
sistemasini yechishga to’g’ri keladi. Bu sistema maxsus ko’rinishga ega
bo’lganligi uchun uning yechimini oshkor ko’rinishda yozish mumkin
(buning isbotini [7] dan qarang):
(3.46)

bunda a, b, a0, a,, f30, ftr yr y2— ma’lum sonlar bo’lib, A va g.k quyidagi formulalar bilan hisoblanadi:

(3.47)
Shuni xam ta’kidlash kerakki, (3.47) formulada lar iteratsiya nomeriga bog’liq, emas, shuning uchun ularni bir marta xisoblab qo’yish kifoyadir.
Qaralayotgan metodning yaqinlashishini tekshirish ancha murakkab ish bo’lib, funksiya G soxada y va z larga nisbatan

Lipshits shartini qanoatlantirgan hol uchun bunday tadqiqot [7] da
keltirilgan.