4-mavzu. Shturm teoremasi. Shturm ko‘phadlar sistemasi. Ta’rif

4-MAVZU. SHTURM TEOREMASI. SHTURM KO‘PHADLAR SISTEMASI.


Ta’rif. Kompleks sonlar maydoni S ustidagi ushbu
ax³+vx²+sx+d=0 (a≠0) (1)
ko’rinishdagi tenglama 3-darajali bir noma’lumli tenglama deyiladi.
(1)ning har ikki qismini a ga bo’lib
(2)
tenglamani hosil qilamiz.
(2)da almashtirish bajarib, soddalashtirgandan so’ng
y³+ry+q=0 (3)
tenglamani hosil qilamiz. (3) da y=u+v almashtirishdan so’ng u va v larni shunday tanlab olamizki, natijada 3uv+r=0 shart bajarilsin. U holda
u³+v³=-q
u³v³= (4)
sistemaga ega bo’lamiz. (4) dan ko’rinadiki u³ va v³ lar Viet teoremasiga ko’ra qadaydir z²+qz- tenglamaning ildizi bo’ladi. Bu kvadrat tenglamani yyechib
z₁=u³ dan u= v= larni hosil qilamiz. u va v
ning har biriga uchta qiymat, u o’zgaruvchi uchun esa to’qqizta qiymat topiladi.

(1) tenglamani bu usulda yechish (1) ni Kardano usuli bilan yechish deyiladi.

Teorema. Agar x³+px+q=0 (5)
tenglamada r, q lar haqiqiy sonlar bo’lib, bo’lsa, u holda quyidagi mulohazalar o’rinli:

1. 
   Agar >0 bo’lsa, (5) tenglama bitta haqiqiy va ikkita o’zaro qo’shma mavhum ildizlarga ega bo’ladi;
   
2. 
   Agar =0 bo’lsa, (5) tenglamaning barcha ildizlari haqiqiy va kamida bitta ildizi karrali bo’lad;
   
3. 
   Agar <0 bo’lsa, (5) tenglamaning barcha ildizlari haqiqiy va turlicha bo’ladi.
   

Ta’rif. Agar quyidagi shartlar bajarilsa, noldan farqli ko’phadlarning tartiblangan chekli
f(x)= f₀(x), f₁(x), f₂(x),..., f_s(x) (1)
cistemasi f(x) ko’phadning Shturm sistemasi deyiladi:

1. 
   (1) sistemaning qo’shni ko’phadlari umumiy ildizga ega emas;
   
2. 
   Oxiri f_s(x) ko’phad haqiqiy ildizlarga ega emas;
   
3. 
   Agar α son (1) sistemaning oraliq ko’phadlaridan biri bo’lgan f_k(x) ko’phadning haqiqiy ildizi bo’lsa, (1≤k≤s-1), u holda f_k-1(x) va f_k+1(x) qarama-qarshi ishoralarga ega bo’ladi;
   
4. 
   Agar α son f(x) ning haqiqiy ildizi bo’lsa, u holda x o’sa borib α nuqtadan o’tganda f(x)f₁(x) ko’paytma o’z ishorasining manfiydan musbatga o’zgartiradi.
   

Agar s haqiqiy son f(x) ko’phadning haqiqiy ildizi bo’lmasa va (1) sistema f(x) uchun Shturm sistemasi bo’lsa, u holda haqiqiy sonlarning f(s), f₁(s), f₂(s),..., f_s(s) cistemasini olamiz va undan barcha nolga teng bo’lganlarini o’chiramiz xamda W(s) orqali qolgan sistemaning ishora o’zgarishlar sonini belgilaymiz.
W(c) ni f(x) ko’phadning (1) Shturm sistemasida x=s bo’lganda ishora o’zgarishlar soni deyiladi.