47. Zonalar nazariyasi. Supero'tkazuvchilar va dielektriklar, yarim o'tkazgichlar, elektr va optik xususiyatlar r n o'tish

Energiya zonalari. Atom sathidan zonalarning shakllanishi.
Kuchli bog'langan elektronlarning yaqinlashishi.
Kristalning davriy maydonidagi elektronning energiya spektrini aniqlash uchun Bloch to'lqin funksiyasini (1.21) ga almashtiramiz.
(1,42)
y belgisi energiya to'lqin vektori tomonidan aniqlanganligini bildiradi . Erkin zarracha uchun de Broyl to'lqini va energiya spektri (energiyaning to'lqin vektoriga yoki kvazi-momentumga bog'liqligi) uzluksiz va 0 dan (uzluksiz spektr) oralig'ida.
Cheksiz baland devorlarga ega bo'lgan potentsial quduqdagi zarracha uchun energiya spektri diskretdir - bu individual energiya qiymatlari to'plami bo'lib, ular orasida "taqiqlangan qiymatlar", ya'ni doimiy echimlar mavjud bo'lmagan energiyalar mavjud. Shredinger tenglamasi.
Kristaldagi elektronning davriy potentsiali kosmosda takrorlanadigan potentsial quduqlar to'plami sifatida ifodalanishi mumkin. Bunday sohadagi energiya spektri "ruxsat etilgan" energiya qiymatlari va "taqiqlangan" qiymatlar diapazonlaridan iborat. Ruxsat etilgan n- bandda elektron energiyasi to'lqin vektoriga bog'liq
(1,43)
Elektron energiyasining to'lqin vektoriga (yoki kvazi impulsga) bog'liqligi kvazimomentum dispersiya qonuni deyiladi. Ruxsat etilgan zonalar soni, shuningdek, kvazimentum dispersiya qonunlari cheksiz katta.
Bloch to'lqin funktsiyasi nafaqat to'lqin vektoriga, balki zona raqami n ga ham bog'liq (1,44)
(1.45) tenglamani qanoatlantiradi
holatlarning fizik ekvivalentligidan kelib chiqadi va energiya funktsiya sifatida o'zaro panjara davri bilan davriydir. Shuning uchun energiyani to'g'ridan-to'g'ri panjara vektorlari nuqtai nazaridan Furye qatorida kengaytirish mumkin
(1,46)
To'lqin vektorini operator bilan almashtirib , biz Wannier teoremasining haqiqiyligini ko'rsatamiz


(1,47)
Kristaldagi elektronga davriy maydonga qo'shimcha ravishda qo'shimcha maydon (masalan, tashqi elektr maydon yoki nuqsonli maydon) ta'sir qilsin. Keyin Shredinger tenglamasi (1.48) ko'rinishini oladi.
Keling, to'lqin funksiyasini Bloch funktsiyalarining to'liq tizimi nuqtai nazaridan kengaytiramiz (1.45)
(1,49)
(1.49) ni (1.48) ga almashtirib, (1.45) ni hisobga olsak, biz hosil boʻlamiz.

Uannier teoremasidan foydalanib, bu munosabatni shaklda qayta yozamiz
(1,50)
(1.50) tenglama aniq. Agar ma'lum hodisalarni ko'rib chiqayotganda, biz o'zimizni bir zonali yaqinlashish bilan cheklashimiz mumkin bo'lsa, ya'ni kengayishda n zonasiga mos keladigan bitta hadni qoldiramiz , u holda (1.50) tenglama shaklni oladi.
(1,51)
(1.51) da endi davriy potensial mavjud emas va kinetik energiya operatori rolini n- zonada dispersiya operatori bajaradi. Agar bog'liqlik ma'lum bo'lsa , u holda (1.51) tenglama samarali Gamiltonianga ega bo'lgan maydondagi "kvazizarra" uchun Shredinger tenglamasining oddiy vizual ma'nosini oladi.
(1,52)
dispersiya qonunini ( ) aniqlash band nazariyasining asosiy vazifasi hisoblanadi. Uning aniq yechimi imkonsiz ko'rinadi, chunki davriy potentsialning o'zini faqat taxminiy o'ziga mos usullar bilan topish mumkin. Biroq, qattiq jismlarda sodir bo'ladigan hodisalarning aksariyatini tushunish uchun butun tarmoqli energiya spektri kerak emas. Muhimlari
ma'lum bir energiya zonasining ekstremal chegarasiga yaqin joylashgan. Agar energiya bir nuqtada ekstremumga ega bo'lsa, u holda uni ketma-ket kengaytirish mumkin
(1,53)
Koeffitsientlar to'plami - ikkinchi darajali tensorni tashkil qiladi, bu teskari samarali massa tensori deb ataladi. Ekstremum nuqtada koordinata tizimining kelib chiqishini va tensorning asosiy yo'nalishlari bo'ylab koordinata o'qlarini tanlab, biz uni diagonal shaklga keltiramiz va
(1,54)
Samarali Gamilton yaqinlashuvida dispersiya qonuniga (1.54) mos keladigan Shredinger tenglamasi shaklga ega.
(1,55)
va anizotrop samarali massaga ega zarrachani tasvirlaydi.
Agar o'zaro samarali massa tensorining uchta asosiy qiymati bir xil bo'lsa
( ), keyin (1.55) samarali massaga ega kvazizarra uchun Shredinger tenglamasiga aylanadi , u maydonda harakat qiladi va davriy potentsialni (1.56) "sezmaydi".
(1.54) ga muvofiq, zarrachalarning samarali massasi qanchalik katta bo'lsa, kvazimentum dispersiya egri chizig'ining egri chizig'i shunchalik kichik bo'ladi. Bundan tashqari, minimalning o'ta nuqtasida amalga oshirilganda, samarali massa ijobiy, maksimal - salbiy.