47. Zonalar nazariyasi. Supero'tkazuvchilar va dielektriklar, yarim o'tkazgichlar, elektr va optik xususiyatlar r n o'tish

Bir elektronli yaqinlashish (Hartri va Xartri-Fok usuli)
Ion koordinatalarini qat'iy parametrlar sifatida hisobga olib, (1.10) tenglamani (1.13) ko'rinishda yozamiz.
Qayerda
va ionlar maydonidagi elektronlarning bir zarrali potentsial energiyalari yig'indisi sifatida ifodalash mumkin deb taxmin qilamiz. Tizimning Gamiltoniani har biri bitta elektronning koordinatalariga bog'liq bo'lgan Gamiltonianlarning yig'indisi bilan aniqlanadi (1.14).
Qayerda
Albatta, berilgan elektronning harakati boshqa elektronlarning holatiga ta'sir qiladi, ular berilgan elektronga ta'sir qiluvchi o'rtacha maydon hosil qiladi. Har bir elektronning zaryadi fazoda zichlik bilan taqsimlangan deb faraz qilsak , i elektronga ta'sir qiluvchi ifodani (Hartri potensiali) tanlash mumkin.
(1.14a)
bu erda yig'ish i - thdan tashqari barcha elektronlar ustida amalga oshiriladi. Berilgan elektronga ta'sir qiluvchi Xartri potentsialini topish uchun boshqa elektronlarning to'lqin funktsiyalarini bilish kerak va o'z navbatida, ma'lum elektronning to'lqin funksiyasi boshqa elektronga ta'sir qilishini aniqlash uchun ishlatiladi (va shuning uchun uning funktsiyalari). ), topish tartibi o'z-o'zidan izchil amalga oshirilishi kerak va shunday ko'rinadi (Hartri usuli). n ta elektronning to'lqin funksiyalarini aniqlash uchun n Shredinger tenglamalari tizimi tuzilgan bo'lib , unda kinetik energiyalarning differentsial operatorlari va berilgan elektronning qolganlari bilan o'zaro ta'sirining o'rtacha potentsial energiyalari uchun integral ifodalar mavjud. Tizim iteratsiya usuli bilan hal qilinadi. Nolinchi yaqinlashuvning to‘lqin funksiyalarini integral ifodalarga qo‘yib, to‘lqin funksiyalariga tuzatishlar topamiz (birinchi yaqinlashishning to‘lqin funksiyalari). Keyin birinchi yaqinlashishning funksiyalari almashtiriladi va ikkinchi yaqinlashishning funksiyalari topiladi va hokazo. O'z-o'zidan izchillik protsedurasi amalga oshirildi va o'ziga mos keladigan maydon topildi deb taxmin qilamiz. Elektron kichik muammo uchun Shredinger tenglamasi shaklni oladi
(1,15)
Ushbu Hartree yaqinlashuvida to'lqin funksiyasi bir elektronli to'lqin funktsiyalarining mahsuloti sifatida ifodalanishi mumkin.
(1.16)
(1.16) ni (1.15) ga almashtirib, olish mumkin
(1.17)
(1.17) shartlarning har biri faqat tegishli zarrachaning koordinatalariga bog'liq bo'lishi mumkin, ya'ni. mustaqil miqdordir. (1.17) ga binoan, mustaqil o'zgaruvchilar yig'indisi doimiy qiymatdir, shuning uchun atamalarning har biri ham doimiy qiymatdir. Shunung uchun
; ; . . . ; , (1,18)
elektron muammoning umumiy energiyasi esa bir elektronli energiyalar yig'indisiga teng
, (1.19)
Umumiy elektron to'lqin funktsiyasi (1.16) bilan aniqlanadi, bu erda bir elektronli funktsiyalar bir elektronli tenglamalarni (bir-biridan faqat o'zgaruvchining yozuvida farq qiladi) qanoatlantiradi.
; ; . . . ; (1.20)
Agar zarrachani raqamlash indeksini o'tkazib yuborsak, u holda bitta elektron muammosi uchun Shredinger tenglamasini ko'rinishda yozish mumkin.
, (1.21)
Bu erda kristallning nomukammalligi va atom yadrolarining tebranishlarini e'tiborsiz qoldiradigan bo'lsak, kristall panjaraning davriyligiga ega bo'lgan elektronning potentsial energiyasi. Fok elektronda spin mavjudligini va Pauli printsipining ta'sirini (elektronlar tizimining to'lqin funktsiyasining antisimmetriyaga bo'lgan ehtiyojini) hisobga oldi. Fok usulida elektronlar tizimining to'lqin funktsiyasi bir elektronli to'lqin funktsiyalarini o'z ichiga olgan determinant sifatida ifodalanadi va o'z-o'zidan mos keladigan maydonni topish tartibi murakkablashadi, bu esa hisobga olinadigan qo'shimcha atamalarning paydo bo'lishiga olib keladi. elektronlarning almashinuv o'zaro ta'siri. Bunday holda, berilgan elektron uchun Shredinger tenglamasi boshqa elektronlar bilan o'zaro ta'sirning potentsial energiyasini o'z ichiga oladi, bu va boshqa elektronlarning to'lqin funktsiyalari mahsulotini (almashinuv energiyasi) o'z ichiga olgan integral ifoda sifatida yoziladi. Muammo keskin murakkablashadi, printsipial ravishda yagona elektron bo'lmagan bo'lib qoladi va uni faqat erkin elektronlar tizimi uchun hal qilish mumkin.