5-§. Aniq integral

5-§ . Aniq integral.
Agar to’g’ri burchakli koordinatalarda funksiya kesmada silliq ( ya’ni hosila uzluksiz bo’lsa , u holda bu egri chiziq mos yoyining uzunligi

Formula bo’uicha hisoblanadi.
Egri chiziq

Parametric tenglamalar bilan berilgan bo’lsa , bu egri chiziqning parametrning monoton o’zgarishiga mos yoyining uzunligi

Formula bilan hisoblanadi.
Agar silliq egri chiziq qutb koordinatalarda tenglama bilan berilgan bo’lsa , u holda yoy uzunligi

Formula bilan hisoblanadi.
Agar yuz jismning Ox o’qqa perpendikulyar tekislik bilan kesishishidan hosil bo’lgan kesimi bo’lib, kesmada uzluksiz funksiya bo’lsa , jismning hajmi

Formula bilan hisoblanadi.
egri chiziq va to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiya Ox o’qi atrofida aylantirilsa , u holda aylanish jismining hajmi

Formula bilan hisoblanadi.
Agar shu figuraning o’zi Oy o’qi atrofida aylantirilsa , u holda aylanish jismining hajmi

Formula bilan hisoblanadi.

Agar chiziqlar hamda to’g’ri chiziqlar bilan chegaralnagan figura Ox o’qi atrofida aylansa , aylanish jismining hajmi

Formula bilan hisoblanadi.
Aylanish jismining hajmi

Formula bilan hisoblanadi.
Agar egri chiziqli trapetsiya x=f(x) funksiya grafigi to’g’ri chiziqlar va I o’qi bilan chegaralansa, bu figuraning o’qi atrofida aylanishidan hosil bo’lgan jismning hajmi

Formula bilan hisoblanadi.
Agar shu figuraning o’zi o’qi atrofida aylansa , aylanish jismining mos hajmi

Formula bilan hisoblanadi.
Agar egri chiziqlar va to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan figura o’qi atrofida aylansa , u holda aylanish jismining hajmi

Formula bo’yicha hisoblanadi.
Agar shu figuraning o’zi o’qi atrofida aylansa , u holda aylanish jismining mos hajmi ushbuga teng bo’ladi:

Agar egri chiziq parametric yoki qutb koordinatalarda berilsa , u holda keltirilgan formulalarda mos o’ringa qo’yishlarni bajarish kerak bo’ladi.
Integrallanish chegaralari cheksiz bo’lgan integrallar yoki chegaralanmagan funksiyalardan olingan integrallar xosmas integrallar deyiladi .
oraliqda uzluksiz bo’lgan funksiyadan olingan integral

tenglik bilan aniqlanadi.
Agar shu limit mavjud bo’lib , chekli bo’lsa , xosmas integral yaqinlashuvchi , aks holda xosmas integral uzoqlashuvchi deyiladi.
Agar funksiya ning boshlang’ich funksiyasi bo’lsa, u holda:

Quyidagi integrallar ham shunga o’xshash aniqlanadi:


2-misoldagi integral integralning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanini taqqoslash alomatlaridan foydalanishda qo’llaniladi.
1. Agar f(x) va funksiyalar barcha lar uchun aniqlangan va da integrallanuvchi hmda barcha lar uchun bo’lsa, u holda
a) integralning yaqinlashuvchanligidan integralning yaqinlashuvchi ekani kelib chiqadi, shu bilan birga

b) integralning uzoqlashuvchanligidan integralning uzoqlashuvchi ekani kelib chiqadi.
2. Agar funksiya barcha x lar uchun aniqlangan va integral yaqinlashuvchi bo’lsa , u holda integral ham yaqinlashadi; bu holda u absolyut yaqinlashuvchi integral deyiladi, bunda

3. Agar integral yaqinlashuvchi uzoqlashuvchi bo’lsa , u holda integralni shartli yaqinlashuvchi integral deyiladi.
oraliqda uzluksiz, b nuqtada uzilishga ega funksiyadan olingan xosmas integral

Tenglik bilan aniqlanadi.
Agar bu limit mavjud bo’lib , u chekli bo’lsa xosmas integral yaqinlashuvchi aks holda xosmas integral uzoqlashuvchi deyiladi.
Agar funksiya uchun boshlang’ich funksiya bo’lsa , u holda

bunda
Agar funksiya a nuqtada yoki oraliqning biror ichki c nuqtasida uzilishga ega bo’lsa ham integral yuqoridagiga o’xshash aniqlanadi:

va