5-§. Fok fazolari

5-§. Fok fazolari
– bir o`lchamli kompleks sonlar fazosi bo`lsin. Ixtiyoriy natural soni uchun orqali da aniqlangan kvadrati bilan integrallanuvchi (umuman olganda kompleks qiymatli) funksiyalarning Hilbert fazosini belgilaymiz. Quyidagicha belgilashlar kiritamiz:
;
.
5.1-ta`rif. Gilbert fazoga Fok fazosi deyiladi, Gilbert fazosiga esa Fok fazosining “qirqilgan – zarrachali qism fazosi deyiladi.
Shunday qilib,



…………………………………………………………………..

Odatda, fazo yordamida qurilgan Fok fazosi kabi belgilanadi.
- fiksirlangan natural son bo`lsin. Ixtiyoriy ikkita
va vektor – funksiyalar uchun ularning skalyar ko`paytmasi

kabi aniqlanadi, bu yerda


Xuddi shuningdek, vektor – funksiyaning normasi

tenglik yordamida aniqlanadi, bunda


Endi Fok fazosida skalyar ko`paytma va normani aniqlaymiz. Ixtiyoriy ikkita
va
elementlar uchun ularning skalyar ko`paytmasi

kabi, vektor – funksiya normasi esa

kabi aniqlanadi.
Ko`rinib turibdiki, – bir o`lchamli chiziqli fazo, ixtiyoriy natural soni uchun cheksiz o`lchamli chiziqli fazo bo`ladi. Demak, va chiziqli fazolar cheksiz o`lchamlidir. Masalan, ixtiyoriy natural soni uchun


………………………………

elementlar chiziqli bog`lanmagan. Haqiqatdan ham, sonlari uchun

tenglikni qaraymiz. Mazkur tenglik

tenglikka ekvivalentdir. Oxirgi tenglik ixtiyoriy da o`rinli bo`lishi uchun

bo`lishi zarur va yetarlidir. Bu esa o`z navbatida elementlarning chiziqli bog`lanmagan ekanligini bildiradi. Demak, ekan.
Endi bozonli Fok fazo tushunchasini kiritamiz. Ixtiyoriy natural soni uchun orqali da aniqlangan, istalgan ikkita argumenti bo`yicha simmetrik bo`lgan kvadrati bilan integrallanuvchi (umuman olganda kompleks qiymatli) funksiyalarning Hilbert fazosini belgilaymiz.
funksiya ga tegishli element, funksiya esa ga tegishli bo`lmagan elementga misol bo`ladi.
5.2-ta`rif: Ushbu

Hilbert fazosiga bozonli Fok fazo deyiladi.
Fok fazosining qirqilgan qism fazolaridagi elementlarning skalyar ko`paytmasini va normasini hisoblashga doir misollar qaraymiz.
5.1-misol. bo`lsin.


elementlarning skalyar ko`paytmasini va normasini toping.
Yechish. va larning skalyar ko`paytmasini hamda normasini ta`rif bo`yicha hisoblaymiz:



5.2-misol. bo`lsin.


elementlarning skalyar ko`paytmasini va normasini toping.
Yechish: va larning skalyar ko`paytmasini hamda normasini ta`rif bo`yicha hisoblaymiz:




5.3-misol. bo`lsin. fazodagi


elementlarni chiziqli bog`langanlikka tekshiring.
Yechish: Trigonometriyadan yaxshi ma`lum bo`lgan formulani inobatga olgan holda

munosabatlarni hosil qilamiz. Demak, elementlar chiziqli bog`langan ekan.
5.4-misol. bo`lsin. fazodagi
,
elementlarni chiziqli bog`langanlikka tekshiring.
Yechish: ⇒ ⇒ ;
Ushbu tenglama oraliqda cheksiz ko`p yechimga ega. Ikkinchi tomondan, algebraning asosiy teoremasiga ko`ra, tenglama ko`pi bilan ikkita kompleks yechimga ega. Bu ziddiyatdan ekanligi kelib chiqadi. Demak, elementlar chiziqli bog`lanmagan ekan.
5.5-misol. bo`lsin. fazoda
, ,
elementlar uchun Shmidtning ortogonallashtirish jarayonini qo`llang.
Yechish: 1) elementlarni chiziqli bog`langanlikka tekshiramiz.

⇒
2)





, ;
Demak, ;
So`ngra, tenglikdan foydalaniladi.